Chapitre 15
Transformations dans C
15.1 Écriture complexe d’une transformation
SoitT la transformation du plan complexe, qui à tout pointM d’affixez, associe le pointM′ d’affixez′etf sa fonction associée de CdansC.
On a M′=T(M) avecz′=f(z) appelél’écriture complexe de la transformationT.
15.2 Écriture complexe d’une translation
Propriété 1 (translation)
Soit−→w un vecteur d’affixeb, l’écriture complexe de la translation de vecteur−→w estz′=z+b
15.3 Écriture complexe d’une homothétie
Propriété 2 (homothétie)
Soit Ω un point d’affixe ω et k un réel non nul, l’écriture complexe de l’homothétie de centre Ω et de rapport k est z′−ω=k(z−ω).
■ Démonstration :
Soithl’homothétie de centre Ω et de rapportknon nul, on a pour tout pointM d’affixez M′=h(M) ⇔ −−→
ΩM′=k−−→
ΩM ⇔ z′−ω=k(z−ω)
15.4 Écriture complexe d’une rotation
Dans le plan complexe muni d’un repère O;−→
u ,−→ v
orienté.
Propriété 3 (rotation)
SoitΩun point d’affixeωetθun réel. L’écriture complexe de la rotation de centreΩet d’angleθestz′−ω= eiθ(z−ω).
■ Démonstration :
Soitrla rotation de centre Ω et d’angle rapportθ, on a pour tout pointM 6= Ω d’affixe z M′ =r(M) ⇔ΩM′ = ΩM et (−−→
ΩM ,−−→
ΩM′) =θ c’est-à-dire |z′−ω| =|z−ω|et arg(z′−ω
z−ω) =θ ce qui signifie que le nombre complexe z′−ω z−ω a pour module 1 et pour argument θon a donc z′−ω
z−ω = eiθ ⇔ z′−ω= eiθ(z−ω).
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