Chapitre 02
Valeurs moyenne et efficace de signaux périodiques Activité documentaire
v Activité introductive sur la valeur moyenne :
Le graphe ci-dessous représente l’évolution de la vitesse instantanée 𝑣 d’un véhicule, au cours du temps, sur un trajet ayant duré 6 heures.
1. Déterminer la distance totale, notée 𝑑, en kilomètre, parcourue lors du trajet.
𝑑 =50 × 1+90 × 1+130 × 2+50 × 1+30 × 1= 480 𝑘𝑚 2. A quoi correspond cette valeur sur le graphe ci-dessus ?
Cette valeur correspond à l’aire située entre la courbe et l’axe des abscisses.
3. Si le véhicule avait eu la même vitesse tout au long du trajet, quelle aurait été sa vitesse, en km : notée 〈𝑣〉 ?
〈𝑣〉 = 𝑑
∆𝑡= 480
6 = 80 𝑘𝑚/ℎ
4. Comme appelle-t-on cette vitesse notée 〈𝑣〉 ?
〈𝑣〉 est appelée « vitesse moyenne »
5. Tracer sur le graphe suivant la courbe représentant 〈𝑣〉 :
Conclusion :
v Comment peut-on décomposer un signal périodique ? On étudie le signal 𝑢(𝑡).
6. Sur le graphe suivant, légender en indiquant la courbe représentant le signal 𝑢(𝑡), la courbe représentant sa composante alternative 𝑢!"#(𝑡) et la courbe représentant sa valeur moyenne 〈𝑢〉.
7. Pour un motif de la composante alternative 𝑢!"#(𝑡), calculer l’aire 𝐴$ située au-dessus de l’axe de l’abscisse et en dessous de la courbe et l’aire 𝐴% située en dessous de l’axe de l’abscisse et au-dessus de la courbe.
𝐴$ = 1,5 × 0,15 = 0,225 𝑉𝑠 = 0,23 𝑉. 𝑠 𝐴% = −4,5 × 0,050 = −0,225 𝑉𝑠 = −0,23 𝑉. 𝑠
8. Que peut-on dire sur la grandeur 𝐴#'#!"( = 𝐴$+ 𝐴% pour la composante alternative du signal ? 𝐴#'#!"( = 𝐴$+ 𝐴% = 0 𝑉. 𝑠
On remarque que 𝐴#'#!"( est nulle comme la valeur moyenne du signal.
9. Pour un motif du signal 𝑢(𝑡), calculer l’aire 𝐴#'#!"( = 𝐴$+ 𝐴% :
𝐴#'#!"( = 𝐴$+ 𝐴% = 7,0 × 0,15 + 1,0 × 0,050 = 1,1 𝑉. 𝑠
On remarque que 𝐴#'#!"( n’est pas nulle ( la valeur moyenne du signal ne l’est pas non plus ).
10. Calculer enfin )!"!#$%* : que représente la valeur obtenue ? 𝐴#'#!"(
𝑇 = 1,1
0,20= 5,5 𝑉 5,5 𝑉 correspond à la valeur moyenne du signal.
𝑢(𝑡)
〈𝑢〉
𝑢!"#(𝑡)
v Comment déterminer graphiquement la valeur moyenne d’un signal périodique au motif complexe ?
11. A l’aide de la méthode vue dans le chapitre 02, déterminer graphiquement la valeur moyenne 〈𝑢〉 des signaux suivants. On rédigera chaque étape du raisonnement.
𝑇 = 20 𝑚𝑠 = 20 × 10+,𝑠
𝐴#'#!"( = 𝐴$+ 𝐴% = 5,0 × 15 × 10+,+ (−3,0 × 5,0 × 10+,) = 60 × 10+, 𝑉. 𝑠
〈𝑢〉 = 1
𝑇× 𝐴#'#!"( = 1
20 × 10+,× 60 × 10+, = 3,0 𝑉
𝑇 = 20 𝑚𝑠 = 20 × 10+,𝑠
𝐴#'#!"( = 𝐴$+ 𝐴% = 6,0 × 3,0 × 10+,+ (−4,0 × 17 × 10+,) = −50 × 10+, 𝑉. 𝑠 𝐴$
𝐴%
𝐴$
𝐴%
v Comment déterminer la valeur efficace de signaux périodiques ayant un motif sinusoïdal, triangulaire ou carré ?
12. Déterminer la valeur efficace des signaux suivants.
Le signal est sinusoïdal et alternatif.
On utilise donc la formule suivante :
𝑈!"#,(.. =𝑈/
√2 = 4,0
√2 𝑈!"#,(.. = 2,8 𝑉
Le signal est
triangulaire et alternatif.
On utilise donc la formule suivante :
𝑈!"#,(.. =𝑈/
√3 = 4,0
√3 𝑈!"#,(.. = 2,3 𝑉
Le signal est carré et alternatif.
On utilise donc la formule suivante :
𝑈!"#,(.. = 𝑈/ 𝑈!"#,(.. = 4,0 𝑉
Le signal est sinusoïdal mais n’est pas alternatif :
〈𝑢〉 = 𝑈/!0+ 𝑈/12
〈𝑢〉 = 1,0 𝑉 2
𝑈/ =𝑈/!0− 𝑈/12
2 = 1,0 𝑉 On utilise donc la formule suivante :
𝑈(.. = E〈𝑢〉%+ (𝑈!"#,(.. )%
= F1,0%+ G1,0
√2H
%
= 1,22
= 1,2 𝑉 Le signal est triangulaire mais n’est pas alternatif :
〈𝑢〉 =𝑈/!0 + 𝑈/12
2 = 1,0 𝑉 𝑈/ =𝑈/!0− 𝑈/12
2 = 1,0 𝑉 On utilise donc la formule suivante :
𝑈(.. = E〈𝑢〉%+ (𝑈!"#,(.. )%
= F1,0%+ G1,0
√3H
%
= 1,15
Le signal est carré mais n’est pas alternatif :
〈𝑢〉 =𝑈/!0 + 𝑈/12
2 = 1,0 𝑉 𝑈/ =𝑈/!0− 𝑈/12
2 = 1,0 𝑉 On utilise donc la formule suivante :
𝑈(.. = E〈𝑢〉%+ (𝑈!"#,(.. )%
= I1,0%+ 1,0% = 1,4 𝑉
13. La valeur efficace du signal dépend-elle de la forme du motif ? La valeur efficace du signal dépend de la forme du motif.
La valeur efficace étant liée à la puissance moyenne du signal, on constate qu’à valeur moyenne et amplitudes égales, le signal le plus puissant est le signal carré, suivi du signal sinusoïdal, et enfin le signal triangulaire.
v Comment déterminer la valeur efficace de signaux au motif rectangulaire ?
14. A l’aide de la méthode vue dans le chapitre 02, déterminer graphiquement la valeur efficace 𝑈 (.. du signal suivant. On rédigera chaque étape du raisonnement.
𝑇 = 2,0 𝑚𝑠 = 2,0 × 10+,𝑠 La représentation temporelle du signal au carré donne :
𝐴3#'#!"( = 𝐴$ + 𝐴%
= 144 × 1,4 × 10+,+ 64 × 0,60 × 10+,
= 0,24 𝑉%. 𝑠
𝑈 (.. = F1
𝑇× 𝐴3#'#!"(
= F 1
2,0 × 10+,× 0,24
= 11 𝑉 𝐴$
𝐴%
