Mouvement dans un champ uniforme

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Mouvement et interactions 2. Relier les actions appliquées à un système à son mouvement

Mouvement dans un champ uniforme I- Mouvement dans le champ de pesanteur uniforme

1°) Champ de pesanteur uniforme

Le champ de pesanteur ⃗g est identique au champ de gravitation ⃗G au voisinage de la Terre. Localement (quelques centaines de mètres dans toutes les directions autour d'un endroit donné) le champ de pesanteur peut être considéré comme uniforme : sa direction est la même en tout point (verticale), de même sens (vers le sol) et de même valeur (g = 9,81 N/kg en moyenne en France métropolitaine).

2°) Nature du mouvement

On étudie le mouvement d'un projectile de masse m, de centre d'inertie G dans le champ de pesanteur uniforme g lancé avec une vitesse initiale v0 . On néglige la résistance de l'air.

On se place dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

Bilan des forces:

⃗P=m.⃗g soit ⃗P

{

^P^z^P^P^=−m.g^x^y⁼⁼⁰⁰

On applique la deuxième loi de Newton:

m.⃗a=⃗P=m.⃗g  ⃗a=⃗g=⃗cste Le mouvement est uniformément accéléré.

⃗a

{

âââ^z^=−g^x^y⁼⁰⁼⁰

3°) Equations horaires du mouvement z

O x

k

i v₀



g

Sol

(2)

⃗a

{

âââ^z⁼^x^y⁼⁼^dv^dt^dv^dv^dt^dt^z^x^y^=−g⁼⁰⁼⁰ ^ ^⃗^v

^{

^v^z=−g.t+cste3^v^v^x^y^=cste1^=cste2 A t = 0,

⃗ v =⃗ v

₀ soit ⃗v

{

^cste1^cste2^cste3 ⁼ ^⃗^v⁰

{

^v^v⁰⁰^cos^sin⁰ ^α^α

d'où :cste1 = v0 cos ; cste2 = 0 ; cste3 = v0 sin .

⃗v

{

^v^z⁼^v^x^dz^dt⁼^v^dx^=−g.t+^dt^y⁼⁼^dy^dt^v⁰⁼⁰^cos^v⁰^sinα^α ^d'où ^⃗^OG

^{

^z=⁻¹^x=(² ^{g t}^v²⁰^+v^cos^y=cste5⁰^(sinα)^α)^t^+cste4^t+cste6

A t = 0, G est en O donc: cste4 = 0; cste5 = 0; cste6 = 0 Les équations horaires du mouvement sont:

⃗OG

{

^z=⁻¹^x=(v² ^{g t}^y=0²⁰^+(v^cos⁰^α)^sin^t^α)^t

Le mouvement a lieu dans le plan (O,x , z) car y = 0.

Evolution des composantes vx et vz de la vitesse suivant Ox et Oz :

Le mouvement suivant Ox est uniforme car vx est constante.

Le mouvement suivant Oz est uniformément accéléré car vz est une fonction affine du temps

4°) Equation de la trajectoire On élimine t entre z et x:

v ^v_x

vz

0 t

(3)

t= x

v₀cosα d'où z=−1

2 g x²

v₀²cos²α+v₀sinα v₀cosαx

Soit : z= −g

2v₀²cosα x²+(tanα)x Equation d'un arc de parabole

de sommet S (ci-contre).

Point de chute A (xA ,0, 0) au sol ? On reporte des coordonnées de A dans l'équation de la trajectoire :

−g x_A²

2v₀²cos²α+(tanα)x_A=0 soit xA( −g x_A

2v₀²cos²α+tanα)=0

Deux solutions : xA = 0 (c'est le point O) et −g

2v₀²cos²α x_A+tanα=0

soit x_A=2v₀²cosαsinα

g =v₀²sin2α

g

Portée du lancé: xA est maximal si sin2 = 1 soit  = /4 = 45°

Vitesse au point A: théorème de l'énergie cinétique entre O et A:

EC (A) - EC (O) = W(P) = 0 d'où vA = v0 Vitesse au sommet S de la trajectoire:

⃗v_S

{

^v^{S z}^{=−g t}^v^{S x}^=v^v^S^Sy^+v⁰⁼⁰^cos⁰^sin^α^α=0 ^{avec t}^S⁼^v⁰^sin^g ^α

⃗OS

{

^z^S^x⁼^S⁼⁻¹²^v⁰^gt^(cos^S²^+(v^α)t^y⁰^S^S^sin⁼⁰⁼^v^α)t⁰²^cosα^S⁼^g^v⁰²^sinα^sin²^g²^α

II- Mouvement dans un champ électrique uniforme 1°) Force électrique exercée sur une particule chargée

Une particule de charge q placée dans un champ électrique ⃗E subit une force

⃗F=q.⃗E avec q en coulomb, E en V/m.

z

O x

k

i v

₀



S

A x

_S

x

_A

z

_S

v

_S

(4)

⃗F et ⃗E sont de même sens si q > 0, de sens contraire si q < 0.

2°) Trajectoire d'une particule chargée dans un champ ⃗E uniforme

Une particule de charge q > 0 pénètre avec une vitesse ⃗v₀ entre deux plaques planes chargées qui créent un champ électrique uniforme ⃗E .

Bilan des forces appliquées à la particule :

La force électrique ⃗F=q.⃗E . On néglige le poids devant ⃗F (la particule est subatomique).

Deuxième loi de Newton :

m ⃗a = ⃗F = q.⃗E . Soit ⃗a = q.E⃗

m = constante. Le mouvement est uniformément accéléré.

En projection dans le repère (O,x,y) :

⃗a

{

âââ^z⁼^x^y⁼⁰⁼⁰^qE^m ^ ^⃗â

{

âââ^z⁼^x^y⁼⁼^dv^dt^dv^dv^dt^dt^z^x^y⁼⁼⁰⁼⁰^qE^m ^ ^⃗^v

^{

^v^z⁼^v^v^qE^x^y^m^=cste1^=cste2^t+cste3

A t = 0,

⃗ v =⃗ v

₀ d'où :cste1 = v0 ; cste2 = 0 ; cste3 = 0.

⃗v

{

^v^v^z^v⁼^x^y⁼⁼^dz^dt^dx^dt^dy^dt⁼^=v⁼⁰^qE^m⁰^t ^d'où ^⃗^OG

^{

^z=^x=v^qE^y=cste5^m⁰^t+cste4^t²^+cste6

A t = 0, G est en O donc: cste4 = 0; cste5 = 0; cste6 = 0

v0 E

x z

+ + + + + + + + +

- - - -

O

(5)

Les équations horaires du mouvement sont:

⃗OG

{

^z^x=v⁼^y=0²^qE^m⁰^t^t²

Le mouvement a lieu dans le plan (O,x , z) Equation de la trajectoire :

En remplaçant t = x/v0 dans l'expression de z, on trouve z = qE 2mv₀²x² Equation d'une parabole de sommet O.

La particule est déviée de sa direction initiale à la sortie de l'espace entre les plaques.

Une particule de charge négative sera dévié vers le bas du dispositif.

Simulation :

http://sciences-phy.pagesperso-orange.fr/Trajectoire_champ_E.html En vidéo :

https://www.youtube.com/watch?v=8WEmR5tPpOo 3°) Accélérateur linéaire de particules

Si le champ ⃗E est dans la direction de

⃗ v

₀ et de même sens, la particule décrira un mouvement rectiligne uniformément accéléré.

Ce dispositif est utilisé pour accélérer des particules chargées (électrons, protons, ions) pour leur communiquer une énergie cinétique élevé. Ces particules entrent en collision avec d'autres particules ou noyaux d'atomes pour en étudier les propriétés.

III_ Aspects énergétiques

Le théorème de l'énergie cinétique ou la conservation de l'énergie mécanique (s'il n'y a pas de frottements) permettent de calculer vitesse ou position d'un objet soumis à un champ uniforme sans avoir recours à la deuxième loi de Newton.

Exemple 1 : Quelle vitesse de sortie vs pour une particule de charge q et de masse m à la sortie d'un champ électrique uniforme ⃗E ?

Soit U, la tension entre les plaques distantes de d qui créent le champ ⃗E . On a alors E = U/d.

Le théorème de l'énergie cinétique appliqué à la particule sur la distance d s'écrit : Ecf - Eci = W( ⃗F ) = F.d = qE.d = q.(U/d)d = qU

Si, la particule est entrée dans le champ sans vitesse intiale, on a Eci = 0.

On a donc Ecf = ½mvs2 = qU.

Soit v_s=

√

⁽^2qU^m ⁾

Application numérique :

Pour un électron de masse m = 9,1.10^-31 kg de charge q = 1,6.10^-19 C et une tension U = 1000 V, on obtient vs = 1,88.10⁷ m/s. Cette valeur représente 6% de la vitesse de la lumière.

(6)

Au-delà de 10%, il faut utiliser la relation donnée par la théorie de la relativité restreinte.

Exemple 2 : Quelle altitude maximale atteinte par un objet de masse m lancé vers le haut avec une vitesse v0 ?

Le théorème de l'énergie cinétique s'écrit, entre l'instant du lancer et celui où l'objet atteint son altitude maximale (et en négligeant les frottements de l'air) :

Ecf - Eci = W( ⃗P ) = - m.g.h avec h, l'altitude maximale atteinte. Le signe moins indique que le travail du poids est résistant.

A cette altitude, l'objet à une vitesse nulle donc Ecf = 0.

On a alors : - Eci = - mgh, soit ½mv02 = mgh et h =v02/2g.

Application numérique : Si v0 = 2 m/s, on a h = 0,2 m.

Avec la conservation de l'énergie mécanique Em = Ec + Ep entre le point de départ et celui d'altitude maximale h :

Eci + Epi = Ecf + Epf soit ½mv02 + 0 = 0 + mgh (en prenant le point de départ comme origine des énergies potentielles). On obtient la m^me relation que précédemment : h =v02/2g.