= 1,02 × donc la suite ( ) est géométrique

saisir « année choisie : », a n prend la valeur a-2019 p prend la valeur 9000 Pour i allant de 1 à n p prend la valeur p× 1,02 FinPour

Afficher p

NOM : ______________________Devoir de Mathématiques n°2 TS Ex1. La population d'une ville augmente

régulièrement de 2 % par an. On suppose que ce taux reste constant. On définit la suite ( ) qui représente la population prévue en 2019+n.

On note la population actuelle en 2019 de 9 000 habitants.

1) Calculer le nombre d’habitants prévu en 2020.

= 1,02 × = 9180 ; 9180 habitants en 2020

2) Exprimer en fonction de et en déduire la nature de la suite

= 1,02 × donc la suite ( ) est géométrique

de raison = 1,02 et de premier terme = 9000

3) Exprimer en fonction de .

= × = 9000 × 1,02

4) Complète l’algorithme ci-contre, en langage

courant qui après saisie de l’année notée , renvoie le nombre prévu d’habitants noté .

Ex2. Déterminer les limites des suites en justifiant les réponses :

= 0,005 × 1,001

lim _→ 1,001 = +∞ car du type avec = 1,001 > 1 donc lim _→ 0,005 × 1,001 = +∞

* =

lim _{→+∞ 4 +1} ⁺⁵ = lim _→+∞ ⁽¹⁺ _{. 4+} ⁵ _1/ ⁾ = lim _→+∞ ⁽¹⁺ _{. 4+} ⁵ _1/ ⁾ = ¹ ₄

car lim _→ 1 + ⁵ = 1 et lim _→ 4 + ¹ = 4

11 19 35

1 2 4 8 16 32

2 =

2 =

−

=

− 2

or lim

= 0 et lim

− 2 = −∞ donc par somme lim

2 = −∞ ( du type 0 + (−∞) → −∞)

9 = 10 −

lim

( 10 −

) = lim

. − 1/ = −∞

( +∞ × (−1) → −∞ ) car lim

= +∞

et lim

. − 1/ = −1

Ex3. On considère la suite (2 ) définie par 2 = 4 et par la relation de récurrence 2 = 22 − 3 pour tout ∈ ℕ.

On donne ci-contre la feuille de tableur donnant les premiers termes de la suite (2 ). 1) Quelle formule a été écrite en B3 et recopiée vers le bas

pour obtenir ces résultats ?

=2*B2-3

2) Compléter les cellules B5, B6 et B7 avec les valeurs des termes de la suite (2 ).

3) On considère la suite (< ) définie pour tout entier naturel par < = 2 − 3

a) Compléter les cellules C2, C3, C4, C5, C6 et C7 avec les valeurs des termes de la suite (< ).

b) Démontrer que la suite (< ) est géométrique.

< = 2 − 3 = 22 − 3 − 3 = 22 − 6

= 2(< + 3) − 6 = 2< + 6 − 6 = 2<

donc (< ) est une suite géométrique de raison = 2 et de premier terme < = 2 − 3 = 4 − 3 = 1

c) En déduire < en fonction de , puis 2 en fonction de .

< = < × = 1 × 2 = 2 ; 2 = < + 3 = 2 + 3

d) La suite (< ) converge-t-elle ? Justifier la réponse.

lim

2 = +∞ car du type avec > 1 donc lim

2 + 3 = +∞ ;

la suite (< ) ne converge pas.

Ex4. Dans chaque cas, donner un minorant et/ou un majorant évident de la suite ( ) définie pour tout ∈ ℕ par :

a) = 10 −³ b) = 3 − (−1)

7 ≤ 10 −

≤ 10 2 ≤ 3 − (−1) ≤ 4

c) = 2 + 3

≥ 3 ; pas de majorant car lim

= +∞

BONUS. La quantité de carbone 14 présente dans un organisme baisse d’environ 0,012 % chaque année. On note A le nombre d’années écoulées depuis la mort d’un organisme et (BA) la quantité de carbone 14 restante A années après sa mort.

Exprimer B_{A C} en fonction de B_A et déduire de la période de demi-vie du carbone 14 ( le nombre d’années après la mort d’un organisme à partir duquel la quantité de carbone 14 a diminué de moitié).

B

= .C −

/ B

= D, FFFGGB

B

= B

× D, FFFGG

; on cherche A tel que B

× D, FFFGG

<

B

soit D, FFFGG

< D, I

Avec la calculatrice, on obtient A = IJJK

Ex5. Soit la suite ( ) définie par = 1 et pour tout ∈ ℕ par = ₅ + 4. 1. Montrer par récurrence que = 8 − 7 × .₅/

① Soit L la propriété : = 8 − 7 × .

/

②initialisation = 1 et 8 − 7 × .

/ = 8 − 7 = 1 donc L est vraie.

③ hérédité.

On suppose L vraie ; montrons que L est vraie, c’est-à-dire = 8 − 7 × .

/

L vraie donc = 8 − 7 × .

/

=

+ 4 =

.8 − 7 × .

/ / + 4

= 4 − 7 × .

/ + 4

= 8 − 7 × .

/ donc L est vraie

④ conclusion : L vraie et L héréditaire donc par récurrence pour tout entier on a = 8 − 7 × .

/

2. La suite ( ) converge-t-elle ? Si oui, calculer sa limite.

lim

.

/ = 0 car du type avec −1 < < 1 donc lim

.8 − 7 × .

/ / = 8

( du type 8 − 7 × 0 → 8)

donc la suite ( ) converge vers 8

Ex6. On considère la suite ( ) définie pour tout ∈ ℕ par = ⁵+ 4

1) Quelle valeur le programme ci-contre affiche-t-il si on saisit en entrée A=100 000 ?

n=315 ;

= 99 852 < 100 000 et

= 100 485 > 100000

2) Justifier que le programme s’arrête quelle que soit la valeur de A rentrée par l’utilisateur.

lim

(

+ 4 ) = +∞ ( du type +∞ + (+∞) → +∞ ) donc on peut rendre le terme aussi grand que l’on veut donc pour tout valeur de A, on trouvera un rang n à partir duquel

les termes de la suite seront supérieur à A donc la boucle tant que avec la condition u<=A s’arrêtera.

variables : n entier ; u, A réels traitement : demander A

n prend la valeur 0 u prend la valeur 0

Tant que u<=A

n prend la valeur n+1 u prend la valeur ⁵+ 4 Fin Tant Que

sortie : Afficher la valeur de n

5 3

Ex7. On considère la suite ( ) définie par = 2, et par la relation de récurrence

= W( ) avec la fonction W définie sur ℝ par W(9) = ^4Y₅ + 8

1) Représenter dans le repère ci-dessous la courbe de la fonction W et la droite ∆ d’équation [ = 9.

2) En utilisant le graphique précédent, représenter sur l’axe des abscisses les termes , , ₅ et ₃ sans les calculer.

3) Émettre une conjecture sur la convergence de la suite ( ).

Il semble que la suite (u

) soit convergente et

lim u

≈ 5,3

ℓ vérifie : ℓ = − ₅ ^ℓ + 8 soit 3 ^ℓ

5 = 8 soit ℓ = ₃ ^_