Classes Préparatoires
Résumé de cours : 1ère Partie :
- Structure d'Éspaces Vectoriels - Applications Linéaires
Année Universitaire : 2019 - 2020 1ère Année - Janvier 2020
Contenu :
Le deuxième semestre du cours d'Algèbre de 1ère année concerne l'Algèbre Linéaire.
Il est composé de six chapitres.
Le premier chapitre a trait à la structure d'espace vectoriel puis aux opérations sur les espaces vectoriels, et enn, aux espaces vectoriels de dimension nie.
1. Structure d'espace vectoriel
2. Sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel 3. Opérations sur les sous-espaces vectoriels :
- Somme de sous espaces vectoriels
- Espaces supplémentaires dans un espace vectoriel 4. Vecteurs particuliers dans un espace vectoriel :
- Les combinaisons linéaires d'une famille nie de vecteurs - Familles de vecteurs libres : vecteurs linéairement indépendants - Familles de vecteurs liés : vecteurs linéairement dépendants - Familles de vecteurs générateurs
- Bases dans un espace vectoriel 5. Espaces vectoriels de dimension nie
- Dénition et opérations.
- Formule des dimensions de Grassmann Le deuxième chapitre traite des applications linéaires :
1. Applications linéaires
2. L'espace vectoriel des applications linéaires - L'espace vectoriel des endomorphismes - Le groupe linéaire
3. Noyau, image et rang d'une application linéaire 4. Application linéaires particulières :
- Applications linéaires injectives - Applications linéaires surjectives - Applications linéaires bijectives
-Transport de la strucure par isomorphismes d'espaces vectoriels Le troisième chapitre porte sur les matrices :
1. Dénition d'une matrice 2. Matrices particuliéres 3. Opérations sur les matrices
4. L'espace vectoriel des matrices et l'algèbre des matrices carré es 5. Matrices inversibles et caractérisations á l'aide des dét erminants 6. L'écriture matricielle d'une application linéaire
7. Matrice de changement de bases
8. Eet d'un changement de bases sur la matrice d'une application linéaire
- Application : Résolution des suites récurrentes lináires et de systèmes de suites récurrentes lináires, à coecients constants.
Le chapitre quatre aborde la réduction des matices carrées.
Le Chapitre cinq développe le calcul des déterminants.
Enn, le sixième et dernier chapitre étudie les systémes linéaires
Table des matières
1 La structure d'espace vectoriel 5
1.1 Dénition : . . . 5
1.2 Conventions : . . . 5
1.3 Règles de calculs dans un espace vectoriel . . . 5
1.4 Structure d'algèbre . . . 6
2 Sous espaces vectoriels (sev) dans un espace vectoriel 7 2.1 Dénition . . . 7
2.1.1 Propriété : . . . 7
2.1.2 Caractérisation des sev . . . 7
3 Opérations sur les sev : 7 3.1 Sommes de sev . . . 7
3.2 Somme directe . . . 7
3.3 Sous-espaces supplémentaires . . . 7
4 Vecteurs particuliers dans un ev 8 4.1 Les combinaisons linéaires d'une famille nie de vecteurs . . . 8
4.2 Familles de vecteurs libres : vecteurs linéairement indépendants . . . 8
4.3 Familles de vecteurs liés : vecteurs linéairement dépendants . . . 8
4.4 Familles de vecteurs générateurs . . . 8
4.5 Bases dans un espace vectoriel . . . 8
5 Espaces vectoriels de dimension nie 8 5.1 Dénition : . . . 8
6 Morphismes d'espaces vectoriels 10 6.1 Dénition : . . . 10
6.2 L'espace vectoriel des applications linéaires . . . 10
6.3 Sous-espaces orthogonaux . . . 11
6.4 L'espace vectoriel des endomorphismes d'un K-ev . . . 11
6.5 Transport de structure d'espace vectoriel par isomorphismes d'espaces vectoriels . . . 11
6.6 Le groupe linéaire des automorphismes de E . . . 11
6.7 Noyau - Image - Rang . . . 12
6.7.1 Noyau d'une application linéaire . . . 12
6.7.2 L'image d'une application linéaire . . . 12
6.7.3 Rang d'une application lináire . . . 12
6.7.4 Applications linéaires particulières . . . 12
Les espaces vectoriels
1 La structure d'espace vectoriel
1.1 Dénition :
Soit(K,+, .)un corps commutatif.
Un espace vectoriel est un ensemble E non vide muni d'une lci notée +, lui conférant une structure de groupe abélien, et d'une loi dite externe notée ·, qui est une application deK×E versE,(λ, x)7→λ.x, jouissant des quatre propriétés suivantes :
Propriété 1 :
1.x=x,∀x∈E
1 désignant l'élément neutre de la2ème loi interne du corps K Propriété 2 :
λ.(x+y) =λ.x+λ.y,∀x∈E,∀y∈E,∀λ∈K
Propriété 3 :
(λ+µ).x=λ.x+µ.x,∀x∈E,∀λ∈K,∀µ∈K
Propriété 4 :
(λ.µ).x=λ.(µ.x),∀x∈E,∀λ∈K,∀µ∈K
On dira que (E,+, .) est un espace vectoriel suK, ou bien un Ke-v.
1.2 Conventions :
Les éléments deE sont appelés des vecteurs Les éléments deK sont appelés des scalaires
L'élément neutre du groupe(E,+)est noté 0 : dit vecteur nul L'élément neutre du groupe(K,+)est aussi noté 0: dit scalaire nul L'élément symétrique du vecteuxx dans le groupe(E,+) est noté −x L'élément symétrique du scalaireλdans le groupe(K,+)est noté −λ 1.3 Règles de calculs dans un espace vectoriel
1. λ.x= 0⇔λ= 0 ou bien x= 0 (ou inclusif) 2. λ.(−x) = (−λ).x=−(λ.x),∀x∈E,∀λ∈K 3. λ.(x−y) =λ.x−λ.y,∀x∈E,∀y∈E,∀λ∈K
Exercice :
Soit E=R+− {0}etK =R considéré comme un corps vis-à-vis de l'addition et de la multiplication des réels.
On munitE de la loi interne : x⊕y=xy,∀x∈E,∀y∈E, On considère la loi externe : λx=xλ,∀x∈E,∀λ∈K, Montrer que (E,⊕,) est un Kev.
1.4 Structure d'algèbre Dénition :
On dit que E est une algèbre surK, si : (E,+, .) est un Ke-v
E est muni d'une deuxième lci notée×, pour laquelle (E,+,×) est un anneau Pour toutx, y dansE, et pour toutλdansK :
λ.(x×y) = (λ.x)×y=x×(λ.y) Remarque :
Si la loi×est commutative (ie l'anneau est commutatif), on dira que l'algèbre est commutative.
Exemples classiques :
Soit (K,+, .) un corps commutatif.
1. On pose : E=Kn={x= (x1, ..., xn), xi∈K} l'ensemble desn-uplets, composantes dansK.
La loi interne est l'addition +desn-uplets. (+ est la1Ξre loi de K).
La loi externe est la multiplication.de chaque composante par un scalaire. (.est la2Ξme loi de K).
2. Soit X un ensemble non vide. Si (E,+, .) est un K-ev, alors EX, l'ensemble de toutes les fonctions (applications) de X vers E, est un K-ev, muni de la loi interne+des fonctions, et de la loi ., multiplication des fonctions par un scalaire.
3. K[X], l'anneau des polynômes à une indéterminée et à coecients dansK, est une K algèbre commutative.
2 Sous espaces vectoriels (sev) dans un espace vectoriel
2.1 Dénition
Soit(E,+, .) un K-ev etF un sous-ensemble non vide deE.
On dit que (F,+.) est un sev de l'espace vectoriel(E,+, .)si (F,+.)est lui-même un K-ev.
On dira dans ce cas queF est sev de E. 2.1.1 Propriété :
F est sev de E ssi F est stable par la loi +et que la loi externe . de E induit une loi externe sur F, ie :λ.x∈F,∀x∈F ,∀λ∈K.
En eet :
1. La loi +est une lci dans F, vu que c'est une lci dansE et queF est stable par cette loi.
2. L'associativité est vraie dans F, car elle est vraie dans E.
3. Étant donné que F est non vide, soit x un élément dans F. Comme 0 = 0.x (règles de calculs dans un ev), donc 0 = 0.xest dans F, du fait par hypothèse que le produit d'un vecteur de F par un scalaire appartient à −x= (−1).x est dans F ègles de calculs dans ev) et du fait par hypothse que le produit d'un vecteur de F par un scalaire appartient àF
Remarque :
Ceci entrainera nécessairement que5cm (F,+) est un sous-groupe du groupe(E,+). 5cm
2.1.2 Caractérisation des sev
F est sev de E ssi x+λ.y ∈F,∀x∈F,∀y∈F,∀λ∈K. Exemples classiques :
Soit(K,+, .)un corps commutatif.
1. Kn[X]l'ensemble des polynômes de degré inférieur ou égale ànest K-ev.
3 Opérations sur les sev :
3.1 Sommes de sev Soit(E,+, .) un K-ev.
SoientE1, E2, ..., Em des sev de E.
On pose : E1+E2+...+Em le sous-ensemble de E déni par : E1+E2+...+Em={x=x1+x2+...+xm, xi∈Ei}
Propriété :
E1+E2+...+Em est un sev de E, appelé somme des sevEi. 3.2 Somme directe
La sommeE1+E2+...+Em est dite directe, si ∩Ei est réduite à{0}. On écrit :⊕Ei.
3.3 Sous-espaces supplémentaires
Pourm= 2, siE =⊕Ei, on dira que les deux sev sont supplémentaires dans E. On écrit aussi :E1 =E E2.
De même pourE2.
4 Vecteurs particuliers dans un ev
Soit(E,+, .) un K-ev. On donnep vecteurs deE :x1, x2, ..., xp.
4.1 Les combinaisons linéaires d'une famille nie de vecteurs
Dénition : On appelle combinaisons linéaire des vecteurs E :x1, x2, ..., xp, tout vecteur x de E qui s'écrit sous la forme : x=c1x1+c2x2+...+cpxp, où1 c1, c2, ..., cp sont des scalaires de K. 4.2 Familles de vecteurs libres : vecteurs linéairement indépendants
Dénition : On dit que les vecteurs x1, x2, ..., xp forment une famille libre ou bien qu'ils sont linéairement indépendants, si :c1x1+c2x2+...+cpxp = 0implique c1 = 0, c2 = 0, ..., cp= 0.
4.3 Familles de vecteurs liés : vecteurs linéairement dépendants
Dénition : On dit que les vecteurs x1, x2, ..., xp forment une famille liée ou bien qu'ils sont linéairement dépendants, s'il existe des scalaires c1, c2, ..., cp non tous nuls ; tq :
c1x1+c2x2+...+cpxp = 0.
4.4 Familles de vecteurs générateurs
Dénition : On dit que les vecteurs x1, x2, ..., xp forment une famille génératrice ou bien qu'ils sont géné rateurs de E; si tout vecteur xde E s' écrit comme combinaison linénaire de ces vecteurs :
x=c1x1+c2x2+...+cpxp.
On écrit :E =hx1, x2, ..., xpi, ou bien : E =vect{x1, x2, ..., xp}. 4.5 Bases dans un espace vectoriel
Dénition : On dit que les vecteurs x1, x2, ..., xp forment une base de E si elle est libre et génératrice.
Ceci est équivalent de dire : tout vecteur xde E s'écrit de faon unique.
5 Espaces vectoriels de dimension nie
5.1 Dénition :
On dit qu'un espace vectoriel est de dimension nie, s'il posséde au moins une partie génératrice.
Dans ce cas, la dimension de E est notéedimKE.
C'est le cardinal de toute base.
Exemples-type :
1. La base canonique deKn : ce sont les vecteurs de la famille :
e1 = (1,0, ...,0), e2= (0,1,0, ...,0), ..., en= (0,0, ...,0,1) .Donc :dimKKn=n.
2. La base canonique deRn[X]: ce sont les polyn ômes :
P0= 1, P1=X, P2 =X2..., Pn=Xn .
Donc : dimKRn[X] =n+ 1.
Propriété : 1. SiF est un sev d'unK-ev E, et siE est de dimension niem alors : F est de dimension nie
dimF ≤dimE
F =E ssidimF =dimE
En particulier :dimF = 0ssi F ={0}
2. Formule des dimensions (formule de Grassmann) :
dim(F1+F2) =dimF1+dimF2−dim(F1∩F2) 3. Rang d'un systéme de vecteurs :
C'est la dimension du sev engendré par ces vecteurs. On note dim(he1, ..., epi) ce rang.
Exercices
Exercice 1
SoitE =RN leR-ev des suites numériques rélles. On donne les sev : E1 ={(un)n∈E, tq:un+1 = 2un}
E2 ={(un)n∈E, tq:un+1 = 3un} Montrer que :
E1+E2={(un)n∈Ntq:un+2 =aun+1−bun,∀n∈N}, en détreminantaetb. Exercice 2
SoitE unK-ev et F1,F2 etF3 trois sev deE. On suppose que :
- F1∩F2={0}
- (F1+ (F2)∩F3 ={0}
Montrer que : 1/ F2∩F3 ={0}
2/ F1∩(F2+F3) ={0}
3/ pour tout x élément de F1+F2+F3 :
l'écriture x=u1+u2+u3 dansF1+F2+F3 est unique.
Les applications linéaires
6 Morphismes d'espaces vectoriels
6.1 Dénition :
Soit(K,+, .)un corps commutatif et E etF deuxK-ev.
On dit qu'une applicationf deE versF est un morphisme d'espaces vectoriels ou quef est application linéaire de E versF, si :
f(λx+µy) =λf(x) +µf(y), pour tout x ety dansE et pour tout λetµdansK. Remarque :
1. f est un morphisme des groupes(E,+)et(F,+). 2. On peut uniquement vérier :
f(x+λy) =f(x) +λf(y), pour toutx ety dansE et pour toutλdans dansK. 6.2 L'espace vectoriel des applications linéaires
Il est noté :LK(E, F).
Muni de l'addition des applications et de la multiplication des applications par un scalaire.
C'est un K-ev.
Propriété :
SiE etF sont deuxK-ev de dimension nie, alorsLK(E, F) : est de dimension nie et : dimKLK(E1, E2) = (dimKE1)(dimKE2)
Remarque :
Le casF =K donne leK-ev des formes linéaires surE.
On le note E∗, appelé dual (algébrique) de E.
Dans ce cas,f(x) est notéhf, xi , dit crochet de dualité.
Exemples :
- La forme linéaire de Dirac, dite 'impulsion de Dirac' , notée δx0 :
hδx0, ϕi=ϕ(x0) pour toute fonctionϕde l'espace vectoriel des fonctions continues sur R Proposition : SoitE de dimension nie netf ∈E∗ une forme linéaire non nulle.
On a :dimKKer(f) =n−1.
Le noyau de f est appelé hyperplan de E déterminé par f. Remarques :
1. Tout sev de dimension n−1, avec n ≥ 3, d'un ev de dimension n est appelà c hyperplan.Pour n= 2, on dit que c'est une droite. Pourn= 3, on dit que c'est un plan.
2. Soit x∈E . Posonsx=x1e1+· · ·+xnen, on a alorsf(x) =a1x1+· · ·+anxn.
L'hyperplan déterminé par f est donc l'ensemble des vecteurs x de E dont les composantes vérient l'équation linéaire :
a1x1+· · ·+anxn= 0.
L'espace des solutions d'un systéme d'équations linéaires peut donc être vu comme une intersection d'hyperplans.
Base duale
SoitEun espace vectoriel de dimension nie sur un corpsK. PuisquedimKL(E, K) = (dimKE)(dimKK) = dimKE, on a la proporiété suivante :
dimKE∗ =dimKE et par conséquent, E etE∗ sont isomorphes.
Théoréme : Soit E de dimension nie égale ànete1,· · · , enune base de E.
Considérons les formes linéaires f , . . . , f dénies par hf, e i =δ où δ = 0si i6= k et δ = 1 si
i=k.δik est appelé symbole de Kronecker).
Alors{f1, . . . , fn}est une base deE∗ appelée base duale dee1, ..., en. Exemple :
Soient E =Rn[X]le R−ev des polynômes de degré inférieur ou égal àn eta0, a1, ..., an n+ 1 réels distincts deux á deux.
On dénit les polynômes L0, L1, ..., Ln de Lagrange par : Li(aj) =δij
Montrer que les polyn ômes de Lagrange forment une base de Rn[X]. On pourra utiliser lesn+ 1formes linéairesIj :Rn[X]−→Rtq :
P →P(ai)
On a, pour tout (i, j)∈ {0, ..., n}2,Ij(ai)=δij. 6.3 Sous-espaces orthogonaux
Proposition :
Soit E un espace vectoriel et F un sous-espace vectoriel de E. L'ensemble des formes linéaires qui s'annulent sur tous les vecteurs deF :F⊥ =f :E −→;K,∀v∈F, f(v) = 0est un sous-espace vectoriel de E∗ appelé l'orthogonal deF.
Remarque :
En dimension nie, et en utilisant la linéarité, on montre que, si e1,· · ·, ep est une base de F, alors F⊥=f ∈E;f(e1) =· · ·=f(ep) = 0.
Proposition :
Soit E de dimension nie et F un sous-espace vectoriel de E. On a : dimE=dimF ⊕dimF⊥
6.4 L'espace vectoriel des endomorphismes d'un K-ev PourE =F, on obtient leK-ev des endomorphismes de E. Dans ce cas, on le noteLK(E).
Remarque :
L'espace vectoriel LK(E) muni de la composition des application est une algébre non commutative.
6.5 Transport de structure d'espace vectoriel par isomorphismes d'espaces vecto- riels
Un isomorphisme d'espaces vectoriels est une application linéaire bijective de E vers F. L'ensemble de ces isomorphismes est noté IsoK(E, F).
Il y a transport de structure d'espace vectoriel par cet isomorphsme.
6.6 Le groupe linéaire des automorphismes de E
C'est le sous ensemble deLK(E) des applications liéaires bijectives deE vers lui même
Muni de la composition des applications, c'est un groupe, dit groupe linéaire deE. On le noteGlK(E).
6.7 Noyau - Image - Rang
6.7.1 Noyau d'une application linéaire
Soitf une application linéaire entre deux K-evE etF.
Le noyau d'une application linéaire f c'est le noyau de f, f considéré en tant que morphisme de groupes, noté donc kerf.
Propriété :
C'est un sev de E.
6.7.2 L'image d'une application linéaire
L'image def c'est l'image de l'applicationf, noté Imf. Propriété :
C'est un sev de E.
Remarque :
De faon générale, siF est sev deE, alors f(F) est un sev deE. On a : ker(f) =f−1({0}) etIm(f) =f(E).
6.7.3 Rang d'une application lináire
Le rang de f, lorsque E est de dimension nie, c'est la dimension du sev Imf, notérg(f).
Théorème du rang :
Soit E et F deux espaces vectoriels de dimension nie et f ∈LK(E, F). On a : dimKE=rg(f) +dimK(Ker(f))
6.7.4 Applications linéaires particulières 1. Applications linéaires injectives :
Une application linéaire est injective ssi kerf ={0}. Propriété :
Si f est injective et si la famille (vi)i∈I est libre dans E , alors la famille(f(vi))i ∈I est libre dans F.
2. Applications linéaires surjectives :
Une application linéaire est surjective si Im(f) =F. Propriété :
Si f est surjective et si la famille (vi)i∈I est génératrice de E, alors la famille (f(vi))i∈I est génératrice de F.
En particulier, si f est bijective, l'image d'une base de E est une base de F.
Corollaire Soit f ∈LK(E, F) où E etF sont deux espaces vectoriels de même dimension nie.
Les propriétés suivantes sont équivalentes : i)f est injective ii) f est surjective iii) f est bijective Corollaire :
Soitf ∈LK(E), avec E de dimension nie.
On a les équivalences suivantes :
f est bijective⇔ Kerf = 0 ⇔Imf =E. Exercice
Soit E un espace vectoriel de dimension nien, muni d'une base (b1, . . . , bn).
Pour tout i= 1, . . . , n, on dénit la i-è me application coordonnéeLi comme l'application de E dans
R qui àv∈E associe le réel xi qui est la i-ème coordonnée dev sur la base (b1, . . . , bn). v = x1b1+· · ·+xibi+· · ·+xn...1(v)b1+· · ·+Li(v)bi+· · ·+Ln(v)bn. 1. Montrer que les Li sont des applications lin'eaires.
2. Montrer que le noyau deLi est un sous-espace vectoriel de dimension n−1de E (hyperplan).
3. On prend E=R3 etb1 = (1,0,−1), b2 = (0,2,3), b3 = (0,0,1).
Montrer que (b1, b2, b3) est une base deE.
Pour i= 1,2,3, déterminer l'image par Li d'un vecteurv= (x, y, z) quelconque deR3. Exercice
SoientV etW deux sous-espaces vectoriels deR4 tels queV ∩W ={0}. On note V +W =
u∈R4, u=v+w, v∈V, w ∈W .
1. Montrez queV+W est un sous-espace vectoriel deR4. 2. Soitvun vecteur non nul deV, et{w1, w2} une famille libre de vecteurs de W.
a. Qu'implique l'existence de ces deux familles libres sur les dimensions deV etW? b. Montrez que la famille {v, w1, w2}est libre dans R4.
3. On considère maintenant une famille libre de deux vecteurs{v1, v2}deV. Montrez que{v1, v2, w1, w2} est une base deR4.
Exercice
SoitH un sous-espace vectoriel deE. Les propriétés suivantes sont équivalentes : i)H est le noyau d'une forme linéaire non nulle ;
ii) il existe une droite D de E telle que E=H⊕D.
Équations de récurrence linéaires Nous présentons ici la résolution, dans le cas général, des équations d'ordre quelconque.
Considérons l'équation E : ∀n ∈ N , u
n+d= a
0u
n+ a
1u
n+1+ · · · + a
d−1u
n+d−1. Pour connaître la forme des solutions de (E ) , il faut résoudre l'équation caracté- ristique associée : r
d= a
0+ a
1r + · · · + a
d−1r
d−1.
C'est la condition pour que la suite géométrique (u
n) = (r
n) soit solution de (E ) . On démontre le résultat suivant :
Théorème :
L'ensemble des suites complexes solution de (E ) est un espace vectoriel de dimen- sion d sur C.
Notons r
1, . . . , r
kles racines (réelles ou complexes) de l'équation caractéristique associée et m
1, . . . , m
kleurs multiplicités.
Toute solution de l'équation (E ) . s'écrit : u
n=
k
X
i=1 mi−1
X
j=0
