Vecteurs Vecteurs àà2 Dimensions2 Dimensions

(1)

CHAPITRE 1 CINEMATIQUE

SUITE

B- Mouvement bidimensionnel (ou plan)

Pr. M. ABD-LEFDIL

Vecteurs

Vecteurs à à 2 Dimensions 2 Dimensions

Axe des yAxe des y

Coordonn

Coordonnéées cartes cartéésiennes (x,y)siennes (x,y)

ˆ j

y

r

^→ ^→

→ →

→

→ →











 + +













= +

=

+

=

⋅

=

≡

=

= +

=

y j x i y y x

x r

r

y x r r r r

r r

position vecteur

OM j y i x r

2 2 2

2

2 2

r r

e e

:

=1

⋅^→

→

r r

rest unvecteur e e

e unitaire,alors

(2)

Repr

Repré ésentations: sentations:

x y (x, y)

(x, y) (r, θ) Coordonn

Coordonné ées polaires (r, es polaires (r,θ

θ):

):

Les vecteurs ont une amplitude et une direction

Exemples de vecteurs:

vitesse, accélération, force…

Vecteur Addition/Soustraction Vecteur Addition/Soustraction

2ème vecteur débute à la fin du premier vecteur

Ordre n’est pas

important Addition de

vecteurs

Soustraction de vecteurs

A – Bpeut être interprété comme A+(-B)

Multiplication/Division de Vecteurs Multiplication/Division de Vecteurs

par un scalaire par un scalaire

Vecteur multiplié ou divisé par un scalaire est aussi un vecteur.

Le module du vecteur obtenu est égal à celui du premier vecteur multiplié par le module du scalaire.

Direction du vecteur obtenu est la même ou

(3)

Produit scalaire de 2 vecteurs Produit scalaire de 2 vecteurs

( )

→

⋅

=

⋅

=

= +

=

j A

i A

j A i A

y x y x

A A A

Oy axe l' sur projection composante

Ox axe l' sur projection composante

( )

→

⋅

=

⋅

=

= +

=

j B

i B

j B i B

y x y x

B B B

Oy axe l' sur projection composante

Ox axe l' sur projection composante

θ cos ^→ ^→

→

= +

=

⋅

B A B

A AxBx AyBy

vecteurs 2 les entre

angle l' est Où θ

ˆ i ˆ j

A_x A_y

B_x B_y

Composantes d

Composantes d’ ’un vecteur un vecteur

θ cos A A

_x

=

θ

= A sin A

_y

x y y

x

A

et A A A

A =

²

+

²

θ = tan

⁻¹ Aussi on a :

Composantes cartésiennes sont les projections du vecteur A sur les axes Ox et Oy.

Vecteur Vitesse:

Graphiquement,

v =

∆

r /

∆

t

C’est un vecteur

(Taux de changement de la position)

Trajectoire

→

+

= +

=

−

=

∆

j y i x

i i

f f i

f

i f

r r

r

(4)

Caract

Caracté éristiques du mouvement ristiques du mouvement bidimensionnel

bidimensionnel

• les mouvements suivant X et Y sont indépendants

• peuvent être traités comme 2 problèmes séparés Le problème du mouvement plan se ramène à 2 problèmes de mouvement rectiligne simultanés.

Exemple: souris d’un PC

• pour connaitre la trajectoire (x en fonction de y) 1. résoudre x(t) et y(t)

2. Substituer une Eq. Pour avoir t(x) 3. Insérer t(x) dans y(t) pour avoir y(x)

Mouvement du Mouvement du

projectile projectile

Mouvement suivant Ox est à vitesse constante a_x=0 alors v_x=constante

Mouvement suivant OY est à accélération constante a_y=-g

Note: Nous avons négligé

Résistance de l’air

Rotation de la terre

Mouvement du projectile Mouvement du projectile

Accélération est constante

(5)

Chercher la trajectoire, Chercher la trajectoire,

y(x) y(x)

1. Ecrire x(t)

t v x =

₀_,_x

2. Ecrire y(t) , 2

0

2 1 gt t v y =

_y

−

3. Inverser x(t) pour avoir t(x)

v

x

x t = /

₀_,

4. Insérer t(x) dans y(t) pour avoir y(x) 2

2, 0 ,

0 , 0

2 1 x

v x g v y v

x x

y

−

= Trajectoie est Trajectoie est parabolique parabolique

Exemple Exemple

X h

v

₀

Vitesse relative Vitesse relative à à 2 2- -d d

Sommer les vitesses comme des vecteurs

Vecteur vitesse absolue

= vecteur vitesse relative au milieu +

vecteur vitesse du milieu:

→

(6)

2 Cas 2 Cas

Bateau pointe perpendiculairement

à la rivière

Bateau traverse perpendiculairement

à la rivière

Expressions vectorielles Expressions vectorielles des vecteurs vitesse et accélération:

Le vecteur position est donné par:

Comme les vecteur unitaires i et j sont fixes:

e OM

j i OM

r

→

= +

=

r

y x

^r ^r

j →

i d^r

d

^r

ou

(7)

j V i V V

: ,

t 0 j t Or i

t j j

t y t x i t i V x

y

x moy

moy moy

moy

r r

r r r

r r r r

r

+

=

∆ =

= ∆

∆

∆ + ∆

∆

= ∆

→

il reste

y

) OM dt ( ) d j y i dt (x d V

dt j i dy dt j dx t lim y t i

lim x V

t j i y t lim x V

lim

0 t 0

t 0 moy t 0 t

→

∆

→

∆

→

∆

→

∆

= +

=

+

 =



 





∆ + ∆



 





∆

= ∆



 





∆ + ∆

∆

= ∆

r r r

r r r r

r

r r r

) a //

V (

V a

moy moy

r r r r

∆

∆ ∆

= t

j a i a

dt j i dV dt dV

t j i V t lim V a

y x

x y

x y 0 t

r r

r r r

+

=

+

=

 

 





∆ + ∆

∆

=

_∆_→

∆















= 

=

→

dt OM d dt

d dt

V a r d

dt OM V d

→ →

=