Exercices Rappel Mathématique
3-851-84 Microéconomie
QUESTION 1
x1, x2 et x3 sont les quantités demandées de trois biens. À l'équilibre, on obtient les trois équations suivantes :
2x1 + Erreur! Signet non défini.x2 + x3 = 4 Erreur! Signet non défini.x1 + 3x2 - x3 = 2 3x1 - Erreur! Signet non défini.x2 + x3 = 5
a) Transcrivez le système d'équations ci-haut sous une forme matricielle.
(Posez
x x x
= x
3 2 1
et
5 2 4
=
b et définissez A de telle sorte que Ax = b ).
b) Calculez le déterminant de la matrice A.
c) Calculez A-1.
d) Utilisez A-1 pour résoudre le système d'équations (en calculant X* = A-1 b ).
e) Utilisez maintenant la méthode de Cramer pour résoudre le système d'équations.
QUESTION 2
Une entreprise de production de biens de consommation courante fait face à la demande suivante : q = f(y, p) = y2 + 2y4 p-3 - 3p2
où :
q = la quantité demandée (q > 0) p = le prix (p > 0)
y = le revenu du consommateur (y > 0)
a) Calculez les dérivées partielles fy, fp, fyp, fpy, fyy, fpp.
b) Interprétez chacune de ces dérivées. (Quel est le signe de chacune des dérivées et quelle information fournit-elle?)
QUESTION 3
Une entreprise minière étudie la possibilité d'exploiter des minerais de cuivre dans le Sud des Appalaches canadiennes. Les ingénieurs estiment que le rendement d'une mine de cuivre est donné par la fonction de rendement
Q = f(c, k) = 5c2 + ck + 2k2
où c est la concentration du minerai et k la quantité de capital employé lors du processus d'extraction. Les ressources d'une mine étant limitées, la production est sujette à la contrainte :
g(c, k) = 5 - c - k = 0.
L'entreprise étudie présentement différents sites et différentes technologies.
a) Quelles sont les valeurs c* et k* que l'entreprise devrait choisir? Utilisez la méthode de Lagrange pour maximiser le rendement de la mine sous la contrainte g(c, k). Pour ce faire, définissez L = f(c, k) + g(c, k) et calculez L/c, L/k et L/. Posez ces dérivées partielles égales à zéro et trouvez une solution pour c*, k* et *.
b) Vérifiez la condition du second ordre pour un maximum contraint.
c) La fonction de rendement est-elle homogène? Si oui, indiquez de quel degré et interprétez.
QUESTION 4
La fonction de coût total d'une entreprise s'écrit:
CT = 3x2 + 4y2 - xy + 100
où x est la quantité produite du bien x et y est la quantité produite du bien y.
a) Calculez les dérivées partielles CT/x et CT/y. Interprétez.
b) Calculez les dérivés partielles du second ordre 2CT/2x et 2CT/2y. Quelle information fournit chacune de ces dérivés ?
c) On vous demande d'estimer l'impact d'une réduction de la production de x sur le coût marginal de production de y (calculez la dérivée partielle de second ordre). Interprétez.
d) Une chute des prix de x et de y entraîne la décision de réduire la production de x de 50 à 49 unités et celle de y de 40 à 39 unités. Quel sera l'impact exact sur le coût total de production ? Quelle sera l'erreur d'approximation si on utilise la différentielle totale pour calculer cet impact ? Indiquez clairement vos calculs.
QUESTION 5
Le volume des ventes d'une entreprise qui commercialise de nouveaux produits est donné par la fonction
V = f(p, r) = 2p2 + 4r2 + 2pr
où p est le montant investit en publicité et r le montant investit en recherche et en développement de nouveaux produits.
Les ressources financières de l'entreprise étant limitées, les ventes sont sujettes à la contrainte:
g(p, r) = 12 - p - r = 0.
a) Maximisez les ventes de l'entreprise sous la contrainte g(p, r) en utilisant la méthode de Lagrange. Pour ce faire, définissez £ = f(p, r) + g(p, r) et calculez £/p, £/r et £/.
Posez ces dérivées partielles égales à zéro et trouvez une solution pour p*, r* et *.
b) Vérifiez la condition du second ordre pour un maximum contraint (cette condition implique le calcul du déterminant d'un «hessien bordé»).
c) Est-ce que le doublement des montants investis en publicité et en recherche permet de doubler le volume de ventes ? (i.e est-ce que la fonction est homogène de degré 1 ?).
Interprétez le degré d'homogénéité obtenu.
QUESTION 6
Trouvez les dérivées partielles de premier ordre des fonctions suivantes :
a) 18 12
y ) 1 x ln(
) y , x (
f
b)
f ( x , y ) ( 2 x
1/2y
34) ( 1 4 x
23y
13)
c) f(x,y)eln(xy)
d)
43 14
xy y x ) 3 y , x (
f
e) f(x,y)3lnx3 ey2
QUESTION 7
Les fonctions suivantes sont-elles homogènes? Si oui, déterminez le degré d'homogénéité en utilisant le théorème d'Euler.
a) f ( x ,y ) = 16 x1/4 y1/4 -4 x1/2
b) g ( x ,y ) = x x +yy
c) h ( x ,y ) = 10 x3y-3
d) i ( x ,y ) = 4 x 2 y 3 - x5 - 3 y5
QUESTION 8
Une petite entreprise fondée par de jeunes diplômés fabrique deux types de composantes
électroniques destinées à la conception d’ordinateurs. L’un d’eux, diplômé des HEC, estime que leur fonction de coût de production est approximativement :
CT = f(x,y) = 4x2 + 5y2 – 3xy + 525
où x est la quantité produite de la composante x et y est la quantité produite de la composante y a) Calculez les dérivés partielles x et y. Interprétez.
b) Calculez les dérivés partielles du second ordre xx et yy. Quelle information fournit le signe de chacune des dérivés.
c) On vous demande d’estimer l’impact d’une réduction de la production de la composante x sur le coût marginal de production de la composante y (calculez la dérivée partielle de second ordre). Interprétez.
d) Une chute des prix des composantes x et y entraîne la décision de réduire la production de la composante x de 30 à 29 unités et celle de la composante y de 25 à 24 unités. Quel sera l’impact exact sur le coût total (CT) de production ? Quelle sera l’approximation obtenue si on utilise la differentielle totale (dCT) pour calculer cet impact ? Calculez l’erreur
d’approximation. Indiquez clairement vos calculs.
QUESTION 9
Le rendement d’une équipe de ventes est donné par la fonction : g(p,f) = 4p2 + 4pf + 3f 2
où p est le montant distribué en primes de rendement et f est le montant investi dans la formation.
Toutefois, le budget de leur employeur est sujet à la contrainte suivante : h(p,f) = 25 – p – f = 0
a ) Maximisez le rendement de l’équipe de ventes sous la contrainte h(p,f) en utilisant la méthode de Lagrange. Pour ce faire, définissez L = g(p,f) + h(p,f) et calculez L/p, L/f et
L/. Posez ces dérivées partielles égales à zéro et trouvez une solution pour p*, f* et *.
b) Est-ce que la condition du second ordre pour un maximum contraint est vérifiée ? Cette condition implique le calcul du déterminant d’un « hessien bordé »). Interprétez.
c) Déterminez le degré d’homogénéité de la fonction g(p,f). Selon le degré d’homogénéité obtenu, est-ce que le fait de doubler les primes de rendement et la formation permet de doubler le rendement de l’équipe de ventes ?
