(Indication : utilisant la commutativité de G, on pourra montrer que si n est son exposant — c’est-à-dire leppcm des ordres de ses éléments

École polytechnique 2012-2013 Théorie de Galois

Feuille d’exercices 4

On notepun nombre premier,Fp le corps finiZ/pZetΩune clôture algébrique deFp. Enfin, on désignera par Frobp: Ω→Ωl’élévation à la puissance p (morphisme de Frobenius).

Exercice 1. Montrer que tout sous-groupe finiGdu groupe multiplicatifK^×des inversibles d’un corpsK est cyclique. (Indication : utilisant la commutativité de G, on pourra montrer que si n est son exposant — c’est-à-dire leppcm des ordres de ses éléments —, il existe un élément d’ordre n.) Exercice 2.

(i). Rappeler pourquoi F_p ={x∈Ω, x^p =x}.

(ii). (p impair) Montrer qu’il existe ζ ∈ Ω tel que ζ² = −1. En déduire que −1 est un carré dans F_p si et seulement sip≡1 mod 4.

(iii). (p impair) Montrer qu’il existe ζ ∈Ω tel queζ⁴ =−1. En considérant l’élément ζ+ζ⁻¹, montrer que 2est un carré dans F_p si et seulement si p≡ ±1 mod 8.

Exercice 3.

(i). Montrer que pour tout entier d ≥ 1, il existe un polynôme irréductible de degré d dans Fp[X].

(ii). Supposons p≥3. Montrer plus précisément que la proportion des polynômes unitaires de degré ddansFp[X]qui sont irréductibles est au moins égale à _2d¹ .

Exercice 4. SoitF un corps fini de cardinalq.

(i). Montrer que sir < q−1,P

x∈Fx^r= 0. (On fait la convention que0⁰ = 1.)

(ii). En déduire que siP ∈F[X1, . . . , Xn]est un polynôme de degréd < n, le nombre d’éléments (x₁, . . . , x_n) ∈ Fⁿ tels que P(x₁, . . . , x_n) = 0 est divisible par p. (Indication : on pourra considérer le polynôme P^q−1.)

(iii). On suppose de plus que P est homogène. Montrer l’équation P(x₁, . . . , x_n) = 0 admet un zéro non trivial.

Exercice 5. Soit x∈Ω^× et soit d_x= [F_p(x) :F_p]son degré sur F_p. (On rappelle que c’est aussi le degré de son polynôme minimalΠFp,xsur Fp.)

(i). Montrer d_x est le plus petit entierd≥1 tel queFrob^d_p(x) =x.

(ii). Montrer que l’ordre N de xdansΩ^× est premier à p.

(iii). Montrer que d_x est l’ordre dep dans(Z/NZ)^×.

(iv). Montrer que les Fp-conjugués dex dansΩsont exactement les Frobⁿ_p(x) avec0≤n < dx. Exercice 6. (Polynôme d’Artin-Schreier) Montrer que si p est premier et a∈ F^×_p, alors X^p−X+a est

irréductible dansF_p[X]. (On pourra utiliser l’exercice précédent.) Exercice 7.

(i). Montrer que Φ_p(X) = X^p−1 +· · ·+X+ 1 est irréductible dans Q[X]. (Indication : on pourra appliquer le critère d’Eisenstein au polynôme Φ_p(X+ 1).)

(ii). La suite de cet exercice est consacrée à l’étude de la réduction de Φ_p modulo un nombre premier `6=p.

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(iii). Montrer que la réduction modulo ` de Φ<sub>p</sub> est de la forme P<sub>1</sub>. . . P<sub>g</sub> où tous les P<sub>i</sub> sont des irréductibles unitaires distincts de même degré, égal à l’ordre de ` dans F^×_p. (On pourra utiliser l’exercice 5.)

(iv). En déduire que Φp est irréductible surF` si et seulement si` engendreF^×_p. (v). Montrer que Φp admet une racine dans F` si et seulement si`≡1 modp.

(vi). Déduire du (iv) qu’il existe une infinité de nombres premiers ` tels que ` ≡ 1 modp.

(Indication : on pourra s’inspirer de la preuve d’Euclide de l’infinité des nombres premiers.) Exercice 8. Soitn≥0 un entier. Montrer que le quotient

K_n=F₂[X_i : 0≤i < n]/(X_i²+X_i+Y

j<i

X_j,0≤i < n)

est une extension deF2 de degré2ⁿ.

(Indication : on pourra montrer par récurrence surnque les monômesQ

i∈Ixi, oùI parcourt les sous-ensembles de{0, . . . , n−1}, forment une base sur F₂ de K_n.)

Exercice 9. Soit f ∈F_p[X] un polynôme non nul. Montrer que le nombre de facteurs irréductibles def est la dimension du noyau de Frobp −Id : A → A, où A = Fp[X]/(f). (On pourra d’abord considérer le cas oùf est sans facteur carré.)

Exercice 10. Soit P ∈F_p[X]un polynôme de degréd.

(i). Montrer queP est irréductible dans F_p[X]si et seulement siP n’a pas de racine dans F_p^r pour tout r ≤ ^d₂.

(ii). (Application) Montrer queF₄ ={0,1, j, j²}avecj²= 1 +j. En déduire que les polynômes 1+X²+X⁵,1+X³+X⁵,1+X+X²+X³+X⁵,1+X+X²+X⁴+X⁵,1+X+X³+X⁴+X⁵ et1 +X²+X³+X⁴+X⁵ sont les polynômes irréductibles de degré5 deF₂[X].

(iii). (Une variante) Supposonsd≤5. Montrer queP est irréductible dansF_p[X]si et seulement si (P, X^p2−X) = 1.

Exercice 11.

(i). Vérifier les factorisations dans C[X]

X⁴+1 = (X²+i)(X²−i) = (X²−√

2X+1)(X²+√

2X+1) = (X²+i√

2X−1)(X²−i√ 2−1).

(ii). En déduire que X⁴+ 1est irréductible dansQ[X].

(iii). On supposepimpair. Montrer que l’ensemble des carrés deF^×_p est un sous-groupe d’indice2.

En déduire que si a, b∈Fp, alors a,bou abest un carré dans Fp.

(iv). Montrer que X⁴+ 1est réductible dansFp[X]pour tout nombre premier p.

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