Exercices Développements

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Exercices Développements

303_Dev_ex Source : Hachette, Myriade 3^ème

1 / 3 Ex 1. Développer les expressions

𝐴 = 5(2 − 𝑥) 𝐵 = −2(−3𝑥 + 5𝑦) 𝐶 = 7𝑥(2 − 𝑥) 𝐷 = −3𝑦(8 − 5𝑦)

Ex 2. Développer les expressions

𝐴 = 2(𝑥 − 3) 𝐵 = −3(−2 + 8𝑥) 𝐶 = 2𝑥(1 − 𝑥) 𝐷 = −2𝑎(−5𝑎 + 4)

Ex 3. Développer les expressions

𝐴 = −7𝑦²(−5 + 2𝑦²) 𝐵 = −2𝑥(𝑥²− 7) 𝐶 = 𝑥(1 + 6𝑥²) − 4(4𝑥²− 5)

Ex 4. Développer et réduire les expressions

𝐴 = 3(𝑥 − 1) + 2(2 − 𝑥) 𝐵 = 2 − 7(2 − 𝑥) 𝐶 = −(2 − 𝑎) − (−5𝑎 + 4)

𝐴 = 4(2 − 𝑥) − 2𝑥(−3 + 𝑥) 𝐵 = 5(−1 + 3𝑥²) − 𝑥(5 + 𝑥) − 2𝑥(3 − 2𝑥)

Act 1. En remplaçant (𝑐 + 𝑑) par 𝐾, développer (𝑎 + 𝑏)(𝑐 + 𝑑).

𝐴 = (𝑥 − 1)(2 − 𝑦) 𝐵 = (𝑥 − 2)(1 + 𝑥) 𝐶 = (𝑥 − 7)(2 − 𝑥) 𝐷 = (𝑥 − 3)(1 − 𝑦) 𝐸 = (2 − 𝑥)(4 + 𝑥)

𝐴 = (2𝑥 + 4)(𝑥 + 1) 𝐵 = (2𝑥 − 5)(−7 − 4𝑥) 𝐶 = 2𝑥 − 5(−7 − 4𝑥) 𝐷 = (2𝑥 − 5) − (7 − 4𝑥)

𝐴 = −(1 + 2𝑥)(9𝑥 − 1) 𝐵 = −2(2𝑥 + 5)(3𝑥 − 8) 𝐶 = − (3𝑥 −3

7) (7𝑥 − 14) 𝐷 = (3 4𝑥 +2

3) (1

5− 2𝑥)

𝐴 = (𝑥 + 3)(6𝑥 − 9) + 10𝑥 − 7 𝐵 = (𝑥 − 1)(5𝑥 − 2) − (−6 + 3𝑥)(−1 + 𝑥) 𝐶 = −4(𝑥 − 9) − (7 + 𝑥)(−𝑥 + 1) 𝐷 = 2(7𝑥²− 1) − (4 + 𝑥)(2𝑥 − 6) − (𝑥 + 7)

Ex 10. Voici un programme de calcul :

 Choisir un nombre

 Soustraire 2

 Multiplier le résultat par la somme du nombre choisi et de 3

 Ajouter 6 au résultat

 Soustraire le carré du nombre choisi.

1. Selon Elie, on retrouve toujours le nombre de départ à la fin du programme. Faire le test en choisissant – 6 comme nombre de départ, puis refaire les calculs en prenant ⁴

7 comme nombre de départ.

2. Prouver que l’affirmation d’Elie est vraie.

Act 2. 1. Développer et réduire 𝐴 = (𝑥 + 4)(𝑥 − 4) et 𝐵 = (7 + 3𝑥)(7 − 3𝑥).

2. En utilisant la double distributivité, développer et réduire (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏).

Cette égalité est appelée identité remarquable. Elle est à connaître par cœur !

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2 / 3 Ex 11. Développer en appliquant l’identité remarquable :

𝐴 = (𝑥 + 5)(𝑥 − 5) 𝐵 = (𝑥 − 7)(𝑥 + 7) 𝐶 = (3𝑥 + 8)(3𝑥 − 8) 𝐷 = (4 − 𝑦)(4 + 𝑦)

Ex 12. Développer en appliquant l’identité remarquable :

𝐴 = (2𝑥 − 3)(2𝑥 + 3) 𝐵 = (𝑥 + 6)(6 − 𝑥) 𝐶 = (4 − 7𝑥)(7𝑥 + 4) 𝐷 = (𝑎 −1

3) (𝑎 +1 3)

Ex 13. Compléter :

(7𝑥 − )( + ) = − 64 ( − )(6 + ) = 25𝑥²−

Ex 14. Développer en appliquant l’identité remarquable :

𝐴 = (𝑥 + 2)²− (𝑥 + 4)(𝑥 − 4) 𝐵 = (4𝑥 − 1)(4𝑥 + 1) − 5𝑥(1 − 3𝑥)

Ex 15. Vu au brevet. On considère 𝐴 = (𝑥 − 2)²− (𝑥 − 1)(𝑥 − 4) 1. Compléter le tableau :

𝑥 𝑥 − 2 (𝑥 − 2)² 𝑥 − 1 𝑥 − 4 (𝑥 − 1)(𝑥 − 4) 𝐴

10 100

2. Développer et réduire 𝐴.

3. Utiliser ce qui précède pour calculer facilement 1 234²− 1 235 × 1 232.

Ex 16. Vu au brevet. Soit 𝑥 un nombre positif compris entre 0 et 10.

1. Calculer AB et AC lorsque 𝑥 = 4.

Lorsque 𝑥 = 4, ABC est-il un triangle rectangle ? Justifier la réponse.

2. Développer et réduire (𝑥 + 7)² et (𝑥 + 8)². En déduire que 𝐴𝐵²− 𝐴𝐶² = 2𝑥 + 15

3.a. Quelle est la valeur de 𝐴𝐵²− 𝐴𝐶² lorsque 𝑥 = 0 ? lorsque 𝑥 = 5 ? lorsque 𝑥 = 10 ?

b. La valeur de 𝐵𝐶² dépend-elle du nombre 𝑥 ? c. Existe-t-il une valeur de 𝑥 pour laquelle le triangle ABC est rectangle ?

Ex 17. 1. Développer puis réduire 𝐷 = (𝑎 + 5)² − (𝑎 − 5)² 2. Sans utiliser la calculatrice, trouver la valeur de :

10 005²− 9 995² ; (7 4+ 5)

2

− (7 4− 5)

2

Ex 18. Les expressions 𝐴 = (2𝑥 − 3)²− 25 et 𝐵 = (2𝑥 + 2)(2𝑥 − 8) sont-elles toujours égales ? 𝑥 + 7

C 5 A

𝑥 + 8 B

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3 / 3 Ex 19. 1. Effectuer les calculs ci-dessous :

a. 123² – 122² – 121² + 120² b. 45² – 44² – 43² + 42² c. 87² – 86² – 85² + 84²

Quelle remarque peut-on faire concernant les résultats ?

2. Choisir quatre nombres consécutifs et effectuer les mêmes calculs qu’à la question 1.

3. A l’aide des questions précédentes, écrire une conjecture.

4. Expliquer pourquoi la conjecture peut s’écrire ainsi : (n + 3)² – (n + 2)² – (n + 1)² + n² = 4.

5. Prouver que cette égalité est vraie pour tout nombre n entier et conclure.

Ex 20. Pierre remarque que : 5²– 4²= 5 + 4 ; 10² – 9² = 10 + 9 ;

250² – 249² = 250 + 249 et ainsi, il affirme que la différence entre les carrés de deux nombres entiers consécutifs est égale à la somme de ces deux nombres consécutifs.

Marie lui dit que sa conjecture n'est pas toujours vraie. Comment Pierre peut-il prouver qu'il a raison ?

 Je choisis un nombre

 Je calcule son quadruple

 Je soustrais 8 au résultat obtenu

 J'élève au carré la différence obtenue 1. Ecrire l’expression finale obtenue si l’on prend x comme nombre de départ.

2. Montrer que cette expression est égale à 16x² − 64x + 64.

Ex 22.

 Choisir un nombre entier positif

 Mettre au carré

 Ajouter 3

 Multiplier par 2

 Soustraire 6

 Diviser par 2

Raccourcir ce programme de calcul Ex 24. Papi Henri dispose d’un terrain carré de

15 m de côté pour faire son jardin potager. La mairie lui propose l’échange suivant : on

raccourcit le côté [AD] du terrain d’une certaine longueur et on rallonge le côté [AB] de la même longueur, comme fait dans le dessin ci- contre.

L’échange est-il équitable ?

Ex 25. 1. En utilisant l’identité remarquable, développer l’expression suivante où n est un nombre quelconque : (2n + 5) (2n - 5)

2. A l’aide des résultats précédents, calculer (sans calculatrice) 205 × 195.

Terrain initial C

A B

D

Après transformation (DE = BG)

C

A B

D

G

E F