Partie I. Chemins monotones

Corrig´ e du Devoir Libre n ^◦ 3

Exercice 1 : jeu de boules

On consid`ere n( n ≥2) urnes num´erot´ees U1, U2, . . . , Un. L’urne num´ero k, Uk contient k boules blanches et n−k boules noires.

1. On choisit une urne au hasard puis on tiresuccessivement et avec remisedeux boules de cette urne.

Un r´esultat possible est donc une 2-liste de couleurs, par exemple (B, N). Ainsi, nous prenons Ω = {B, N}². Les ´ev´enements ´el´ementaires ne sont pas a priori ´equiprobables. En effet tout est conditionn´e par l’urne dans laquelle on tire les boules... Notons pour k ∈ [[1, n]] U_k l’´ev´enement “le tirage se fait dans l’urne U_k”. Nous pouvons repr´esenter cette exp´erience al´eatoire par un arbre :

Ω

U₁

(N, N) (N, B) (B, N) (B, B) .. .

U_n

(N, N) (N, B) (B, N) (B, B)

Afin d’all´eger l’´ecriture, notonsBl’´ev´enement (B, B). On cherchep(B).

Remarquons tout d’abord que l’urne dans laquelle les triages s’effectuent ´etant choisie au hasard, les ´ev´enements U₁, ... ,U_n sont ´equiprobables, par cons´equent pour toutk ∈ [[1, n]], p(U_k) = _n¹. Ainsi la famille (U_k) est un syst`eme complet d’´ev´enements non n´egligeables. D’apr`es la formule des probabilit´es totales, nous avons :

p(B) =

n

X

k=0

p(U_k)×p(B|U_k).

Soitk∈[[1, n]] fix´e, calculonsp(B|Uk). On effectue deux tirages successifs avec remise dansU_k. Un r´esultat pos- sible est donc un couple de boules deU_k. Notons Ω_k=U_k×U_k. Les ´ev´enements ´el´ementaires ´etant ´equiprobables Ωk est muni de la probabilit´e uniforme. D’o`u p(B|Uk) =Card B∩Ωk

Card Ω_k =k² n². Finalement, la formule des probabilit´es totales donne :

p(B) =

n

X

k=0

1 n

k² n² = 1

n³

n(n+ 1)(2n+ 1)

6 = (n+ 1)(2n+ 1) 6n²

N 2. On choisit une urne au hasard puis on tiresuccessivement et sans remisedeux boules de cette urne. Notons comme pr´ec´edemment, Ω = {B, N} et B = (B, B). En revanche Ωk d´enote d´esormais A(2, Uk) puisque les tirages dans les urnes se fontsans remise. D’apr`es la formule des probabilit´es totales, nous obtenons :

p(B) =

n

X

k=0

1 n

k(k−1)

n(n−1) = 1 n² (n−1)

n

X

k=0

k²−

n

X

k=0

k

!

= 1

n²(n−1)

n(n+ 1)(2n+ 1)

6 −n(n+ 1)

2

=(n+ 1)(2n+ 1−3 6n(n−1)

= n+ 1 3n .

N

1

Probl` eme 1 : Promenades dans le plan

Dans tout le probl`eme, n ∈ N<sup>?</sup> est fix´e. Dans le plan rapport´e `a un rep`ere orthonorm´e (O,~i,~j), on consid`ere un quadrillage constitu´e de (n+ 1)² points : E_n ={0,1, . . . , n} × {0,1, . . . , n}. On note A le point sup´erieur droit, de coordonn´ees (n, n).

Partie I. Chemins monotones

1. Un exemple

a. La figure ci-contre repr´esente un chemin monotone de l’origine au pointAde coordonn´ees (6,6).

b.c. Dans un chemin monotone reliant l’origine au point de coor- donn´ees (6,6), le point mobile effectue 12 d´eplacements, 6 vers la

droite, 6 vers le haut ! N

d. Un chemin monotone de l’origineOau point de coordonn´ees (6,6) peut-ˆetre repr´esent´e par une 12-liste de fl`eches vers le haut ou vers la droite telle que →apparaˆıt exactement 6 fois. Ainsi notre exemple peut ˆetre cod´e par

(↑,→,↑,↑,→,→,↑,↑,→,→,→,↑).

Un chemin monotone de l’origineOau point de coordonn´ees (6,6) correspond `a un choix de 6 emplacements de la liste pour les→.

Il y a donc 12

6

chemins monotones possibles deO `aA. N

2. Soit 0≤p≤n. On noteMn−p,pl’ensemble des chemins monotones de l’origine au pointM_n−p,pde coordonn´ees (n−p, p). Un chemin monotone reliant l’origine au pointM_n−p,ppeut -ˆetre repr´esent´e par unen-liste d’´el´ements de{↑,→}dans laquelle apparaissent exactementn−pfl`eches→.

Par cons´equent il y a n

n−p

= n

p

chemins monotones de l’origine `aM_n−p,p. N 3. Je d´enombreMn−p,p suivant que le premier d´eplacement s’effectue vers le haut ou vers la droite.

• Si le premier d´eplacement est vertical,

je choisis lesn−pemplacements pour les “→” parmi lesn−1 places restantes ⁿ⁻¹_n−p

possibilit´es

• Si le premier d´eplacement est horizontal,

je choisis lesn−p−1 emplacements pour les “→” parmi lesn−1 places restantes _n−p−1ⁿ⁻¹

possibilit´es Au total, nous avons :

.

n p

= n−1

n−p

+

n−1 n−p−1

= n−1

p−1

+ n−1

p

N 5. Soitk∈ {0, . . . , n}, on noteB_k le point de (∆) d’abscissek. CommeB_k appartient `a ∆ ses coordonn´ees (x_k, y_k) v´erifient l’´equation :x_k+y_k =n. Comme par construction,x_k =k, nous en d´eduisons quey_k =n−k. N

a. D’apr`es la question2.il y a n

n−k

chemins monotones de l’origine `a B_k. N

b. Afin d’utiliser les r´esultats de la question2. pour calculer le nombre de chemins monotones deBk jusqu’`a A, je fais un changement de coordonn´ees : les coordonn´ees du pointAdans le rep`ere (Bk,~i,~j) sont

x⁰_A=n−k, y⁰_k=n−(n−k) =k.

Ainsi, le nombre de chemins monotones deBk `aAest n

k

. N

c. En d´eduire le nombre de chemins monotones de l’origine `aA qui passent parBk. 6. Je d´enombre les chemins de l’origineO `aA.

a. En utilisant les r´esultats de la question2., j’obtiens d’une partCard Mn,n= 2n

n

b. D’autre part, en discutant suivant la valeur k ∈ [[0, n]] de l’abscisse du point d’intersection du chemin monotone avec (∆), j’obtiens :

• choix d’un chemin monotone de l’origine `a B_{k n−k}ⁿ

possibilit´es

2

• choix d’un chemin monotone deB_k `aA ⁿ_k

possibilit´es Au total

2n n

=

n

X

k=0

n n−k

× n

k

=

n

X

k=0

n k

²

N

Partie II. Promenades al´ eatoires

On reprend les notations de la premi`ere partie. Soient (p, q)∈N² fix´e, on noten=p+q.

1. On s’int´eresse `a la probabilit´e pour que le mobile passe par le pointM de coordonn´ees (p, q). Un r´esultat pos- sible est un chemin moniotone quelconque compos´e dend´eplacements. On note Ωn l’ensemble de tels chemins monotones. Comme nous l’avons vu `a la premi`ere partie, un ´el´ement de Ωnest unen-liste de fl`eches vers le haut ou vers la droite. D’o`u

Ω_n={↑,→}ⁿ

Comme le mobile se d´eplace `a chaque instant vers le haut ou vers la droite avec la mˆeme probabilit´e, Ω_n est muni de la proba U. On note queCard Ω_n= 2ⁿ.

Notons Mp,q l’´ev´enement “le point mobile passe par le point M de coordonn´ees (p, q)”.

D’apr`es la questionI.2.,Card Mp,q= ⁿ_p

= ^p+q_p . Par cons´equent : p(Mp,q) = 2⁻ⁿ

n p

N 2. NotonsP etQles points de coordonn´ees respectives (p,0) et (0, q). On consid`ere le rectangle de sommetsO,Q,

M et P.

Pour tout couple (a, b)∈N² tel que le point de M_a,b de coordonn´ees (a, b) appartienne au rectangle, on d´efinit l’´ev´enementS_a,b : “le mobile sort du rectangle au pointM_a,b ”.

a. Il est clair que pour sortir du rectangle au point (a, b), il est n´ecessaire que le mobile passe parM_a,b! ! Ainsi p(S_a,b) =p S_a,b∩Ma,b

=p(Ma,b)×p S_a,b | Ma,b

Or, lorsque le mobile passe au pointM_a,b du cot´eP M_p,q etM_a,b6=M_p,q, il a une chance sur deux de sortir du rectangle `a son prochain d´eplacement : il faut et il suffit pour cela qu’il effectue un d´eplacement hori- zontal.

Par cons´equent : p(S_a,b |Ma,b) = 1

Finalement, en utilisant les r´esultats de la question pr´2ec´edente, nous obtenons :

. p(Sa,b) = 1

2 1 2^a+b

a+b a

N b. Supposons que le mobile passe par le point Ma,b du cot´eQMp,q et Ma,b 6= Mp,q. Le mobile a alors une chance sur deux de sortir du rectangle `a son prochain d´eplacement : il faut et il suffit pour cela qu’il effectue un d´eplacement vertical. Nous en d´eduisons comme pr´ec´edemment que

. p(Sa,b) = 1

2 1 2^a+b

a+b a

N c. Supposons enfin que le mobile passe par le point Mp,q. Le mobile est sˆur de sortir du rectangle `a son

prochain d´eplacement. Autrement ditp(Sa,b|A) = 1 et par cons´equent :

. p(S_p,q) = 1

2^p+q p+q

p

N 3. NotonsD l’ensemble des points du cˆot´eP Mp,q priv´e deMp,q ,H l’ensemble des points du cˆot´eQMp,q priv´e de

Mp,q. Comme la famille (Sa,b)(a,b)∈QOP Mp,q forme un syst`eme complet d’´ev´enements, nous avons : 1 = p(Ω_n) = X

(a,b)∈D

p(S_a,b) + X

(a,b)∈H

p(S_a,b) +p(S_p,q)

= 1

2

q−1

X

k=0

1 2^k+p

p+k k

+

p−1

X

k=0

1 2^k+q

q+k k

+ 2× 1 2^p+q

p+q p

! .

En multipliant les deux membres de cette derni`ere ´egalit´e par 2, nous obtenons 2 =

q−1

X

k=0

1 2^k+p

p+k k

+

p−1

X

k=0

1 2^k+q

q+k k

+ 2× 1 2^p+q

p+q p

=

q

X

k=0

1 2^k+p

p+k k

+

p

X

k=0

1 2^k+q

q+k k

. N

3