Examen du 25 mars

Optimisation Universit´e de Nice

L3 MASS Ann´ee 2013-2014

Examen du 25 mars

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Exercice 1 - Soit a = (a₁, a₂, . . . , a_n) ∈ Rⁿ. On note h·,·i le produit scalaire usuel sur Rⁿ. On consid`ere la fonction f en nvariables x1, . . . , xn (on note x= (x1, x2, . . . , xn)∈Rⁿ)

f(x) = (ha, xi)² =

n

X

i=1

a_ix_i

!2

.

1. D´eterminer le gradient (∇f)x de f au point x ∈ Rⁿ et l’exprimer d’abord en fonction des coordonn´ees a_i etx_i, ensuite en fonction de aetx.

2. D´eterminer la matrice hessienneH(f)_x de f au pointx∈Rⁿ et l’exprimer d’abord en fonction des coordonn´eesa_i etx_i, ensuite en fonction deaetx.

3. Calculer hw,H(f)_xwi pour tout vecteurw∈Rⁿ et d´eterminer son signe.

4. Est-ce que f est une fonction convexe ? strictement convexe ?

5. BONUS. On consid`ere un deuxi`eme vecteurb= (b₁, . . . , b_n)∈Rⁿ et la fonction

g(x) = (ha, xi)²+ (hb, xi)².

Est-ce que g est convexe ? strictement convexe (on distinguera les cas n= 2 etn >2) ?

Exercice 2 - On consid`ere la fonction en trois variablesx₁, x₂, x₃

J(x1, x2, x3) = (x1−1)²+ (x2−1)²+x²₃

sous les deux contraintes

F₁(x₁, x₂, x₃) =x²₁+x²₂+x²₃−1 = 0, F₂(x₁, x₂, x₃) =x₁+x₂+x₃ = 0.

1. Ecrire le lagrangien L(x₁, x₂, x₃, λ₁, λ₂) associ´e `a ce probl`eme. On notera les multiplicateurs de Lagrangeλ₁ etλ₂.

2. Calculer les 2 vecteurs gradient (∇F₁)_xet (∇F₂)_xet montrer qu’ils sont lin´eairement ind´ependants quand F1(x) =F2(x) = 0.

3. D´eterminer les points critiques du lagrangien L(x₁, x2, x3, λ1, λ2). On posera α = _λ¹

1+1, apr`es avoir v´erifi´e que λ1 6=−1, et on r´esoudra le syst`eme des 5 ´equations portant surx1, x2, x3, α, λ2. 4. BONUS 1. Montrer que l’un des deux points critiques est un maximum local et l’autre un minimum local en utilisant un crit`ere sur la matrice hessienne du lagrangien. Est-ce aussi des extr´ema globaux ?

5. BONUS 2. Donner une interpr´etation g´eom´etrique de ce probl`eme d’optimisation.

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