FEUILLE DE CALCUL RAPIDE 7 janvier 2019
1. (Epolynom12.tex) SoitA=X3−1,B =X2−1. Quel est le pgcd deAetB. Calculer des polynˆomesU etV tels que
U A+V B=A∧B,deg(U)<2,deg(V)<3
2. (Eexo285.tex) Le polynˆomeX4+ 1 est-il irreductible dans R[X] ?
3. (Epolynom30.tex) Soit p et q complexes avec q 6= 0 et x1, x2,x3les trois racines complexes de
X3+pX+q Pourn∈N, on note
Sn= 1 xn1 + 1
xn2 + 1 xn3
Former une relation entreSn,Sn+1,Sn+2,Sn+3. 4. (Epolynom6.tex) Calculer la somme des cubes des racines de
X2+ 2X+ 3
5. (Epolynom19.tex) Calculer le reste R et le quotient Qde la division euclidienne de
X3−2X2+ 3X parX2−X+ 1
6. (Epolynom43.tex) SoitP ∈K[X] eta∈K. Quel est le reste de la division deP par (X−a)2?
7. (Epolynom33.tex) Calculer le pgcd des polynˆomes X4+ 2X2−X+ 2 X3+X−2
8. (Epolynom31.tex) Exprimer
(x+y)2+ (y+z)2+ (z+x)2 en fonction desσ1,σ2,σ3 form´es avec x,y,z.
9. (Epolynom42.tex) Soitσ1,σ2, σ3 les polynˆomes sym´etriques
´el´ementaires form´es avec x,y,z. Exprimer (σ1−x)(σ1−y)(σ1−z) avecσ1,σ2,σ3.
10. (Epolynom39.tex) Soitσ1,σ2, σ3 les polynˆomes sym´etriques
´el´ementaires form´es avec x,y,z. On note x0=y+z, y0 =x+z, z0 =x+y
et σ01, σ20, σ03 les polynˆomes sym´etriques ´el´ementaires form´es avec x0, y0, z0. Exprimer σ10, σ20, σ03 en fonction deσ1,σ2,σ3.
11. (Eexo74.tex) Exprimer Pa21 `a l’aide des polynˆomes sym´etriques ´el´ementaires σ1 etσ2
12. (Epolynom34.tex) Calculer la somme des puissances qua- tri`emes des racines de
X3+X2+ 1
13. (Epolynom24.tex) Calculer la somme des carr´es des racines deX2+X+ 2.
14. (Epolynom13.tex) SoitA=X3+ 1,B=X2−1. Quel est le pgcd deAetB. Calculer des polynˆomesU etV tels que
U A+V B=A∧B,deg(U)<2,deg(V)<3
15. (Eexo286.tex) Le polynˆomeX2+ 1 est-il irreductible dans R[X] ?
16. (Epolynom32.tex) Soitnnaturel non nul et P = (n+ 1)Xn+2−(n+ 2)Xn+1+ 1 Quelle est la multiplicit´e de 1 comme racine deP? 17. (Epolynom9.tex) Calculer la somme des puissances qua-
tri`emes des racines de
X3+ 3X+ 2
18. (Epolynom7.tex) Calculer la somme des puissances qua- tri`emes des racines de
X3+ 2X+ 1
19. (Epolynom16.tex) Le polynˆome X4 + X2 + 16 est-il irr´eductible dansR[X] ?
20. (Eexo287.tex) Factoriser le polynˆomeX4+ 1 en polynˆomes irr´eductibles deR[X].
21. (Eexo288.tex) Factoriser le polynˆomeX4−1 en polynˆomes irreductibles deR[X].
22. (Epolynom37.tex) R´esoudre dansC
z3+ (1−3i)z2−(3i+ 2)z−2 = 0
sachant que l’´equation admet une racine r´eelle `a pr´eciser.
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23. (Epolynom21.tex) Calculer le reste R et le quotient Qde la division euclidienne de
X4+X3+ 2X2+ 2X+ 2 parX3+X+ 1
24. (Epolynom15.tex) SoitA=X2−3X+ 2,B =X2−2X−3.
Quel est le pgcd deAetB. Calculer des polynˆomesU et V tels que
U A+V B=A∧B,deg(U)<2,deg(V)<2
25. (Epolynom41.tex) Calculer le quotient de la division de X7+ 2X6−3X5+ 17X4−28X3+√
2X2−πX+e par
X6−X5+ 2X4−√
3X3+√
2X2−X
26. (Epolynom23.tex) Exprimer les racines de 4X2−4 chθ X+ 1
`
a l’aide de la fonction exponentielle.
27. (Epolynom2.tex) Calculer la somme des carr´es des racines de X2−2X−1
28. (Epolynom22.tex) Exprimer les racines de 4X2−4 cosθ X+ 1
`
a l’aide de la fonction exponentielle.
29. (Epolynom3.tex) Calculer la somme des carr´es des racines de X2+ 2X+ 3
30. (Epolynom28.tex) Calculer le quotient et le reste de la division euclidienne deX3+X2−1 parX2−X+ 2.
31. (Epolynom11.tex) Exprimer x31+x32+x33 en fonction de σ1=x1+x2+x3
σ2=x1x2+x2x3+x1x3 σ3=x1x2x3
32. (Eexo289.tex) Factoriser le polynˆomeX4+X2+ 1 en po- lynˆomes irreductibles deR[X].
33. (Epolynom8.tex) Calculer la somme des puissances qua- tri`emes des racines de
X3−2X+ 1
34. (Epolynom18.tex) Calculer le reste R et le quotientQde la division euclidienne de
X3+ 2X2+ 3X+ 2 parX2+X+ 1
35. (Epolynom38.tex) Soitσ1,σ2,σ3les polynˆomes sym´etriques
´
el´ementaires form´es avecx, y, z. On note x0=yz, y0=xz, z0=xy
et σ10, σ02, σ30 les polynˆomes sym´etriques ´el´ementaires form´es avec x0, y0, z0. Exprimer σ01, σ20, σ30 en fonction deσ1,σ2,σ3.
36. (Epolynom20.tex) Calculer le reste R et le quotientQde la division euclidienne de
X3+ 2X2+X−2 parX2+X−1
37. (Epolynom1.tex) Calculer la somme des carr´es des racines de X2+X−1
38. (Epolynom29.tex) Soit p et q complexes avec q 6= 0 et x1, x2,x3 les trois racines complexes de
X3+pX+q Pourn∈N, on note
Sn =xn1+xn2+xn3
Former une relation entreSn,Sn+1,Sn+2,Sn+3. 39. (Eexo290.tex) Factoriser le polynˆomeX4−X2+ 1 en po-
lynˆomes irreductibles deR[X].
40. (Eexo141.tex) Factoriser dansR[X]
X4−2 cos 2αX2+ 1
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41. (Epolynom35.tex) Calculer la somme des inverses des racines de
X3+X2+ 1
42. (Epolynom40.tex) Quelle est la multiplicit´e de 1 comme racine de
X5−3X4+ 4X3−4X2+ 3X−1
43. (Epolynom25.tex) Calculer le quotient et le reste de la division euclidienne deX3+X2−1 parX3−X+ 2.
44. (Epolynom26.tex) Soitxune racine deX4+X+ 1. Exprimer x7 `a l’aide dex,x2,x3.
45. (Epolynom5.tex) Calculer la somme des cubes des racines de X2−2X−1
46. (Epolynom36.tex) Calculer le reste R et le quotient Qde la division euclidienne de
X4+X3+ 2X2+ 2X+ 2 parX3−X+ 1
47. (Epolynom17.tex) D´eterminer les arguments dans [0,2π] des racines deX6+X3+ 1.
48. (Epolynom4.tex) Calculer la somme des cubes des racines de X2+X−1
49. (Epolynom27.tex) SoitA=X3+1 etB=X2+1. D´eterminer des polynˆomesU et V tels que
U A+V B= 2
50. (Epolynom14.tex) SoitA=X2−3X+ 2,B =X2−5X+ 6.
Quel est le pgcd deAetB. Calculer des polynˆomesU et V tels que
U A+V B=A∧B,deg(U)<1,deg(V)<1
51. (Eexo142.tex) Factoriser dansR[X] X4+ 2 cos 2αX2+ 1
52. (Epolynom10.tex) Exprimer x21+x22+x23 en fonction de σ1=x1+x2+x3
σ2=x1x2+x2x3+x1x3 σ3=x1x2x3
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