Liste 5 – Espaces de Fréchet

Analyse III, partie 2 (3BM) : Exercices Année académique 2014–2015

Liste 5 – Espaces de Fréchet

Définition 1. SoitE un espace vectoriel complexe. Unesemi-norme surE est une application p: E → [0,+∞[

telle que

p(e+f)≤p(e) +p(f) et p(λe) =|λ|p(e) pour touse, f ∈E et toutλ∈C. Poure∈E etr >0, on pose

Bp(e, r) ={f ∈E:p(f−e)< r}=e+Bp(0, r)

et on parle des semi-boules associées àp.

Exercice 1. SoitP un ensemble de semi-normes surE. Si pour tousp, q∈P, il existe s∈P etC >0 tels que

max{p, q} ≤Cs,

on dit que P est filtrant. Montrer que dans ce cas, il existe une unique topologieTP telle que pour tout e∈E, les semi-boulesBp(e, r)associées aux éléments deP forment une base de voisinages dee.

Exercice 2. SoitPun ensemble filtrant de semi-normes surE. L’espace(E,TP)est séparé si et seulement si pour toute∈E\ {0}, il existep∈P tel que p(e)6= 0(i.e.p(e) = 0∀p∈P ⇒e= 0).

Définition 2. Unespace de Fréchet est un espace vectoriel complexeEmuni d’un ensemble dénombrable de semi-normesP ={pm:m∈N} tel que

1. la suite(pm)_m∈Nest croissante, 2. l’espace(E,TP)est séparé,

3. toute suite de Cauchy de(E,TP)converge, i.e. si(ek)_k∈N est une suite d’éléments deE telle que pour toutm∈N

pm(er−es)→0 si r, s→ ∞, alors il existee∈E tel que pour toutm∈N

pm(ek−e)→0 si k→ ∞.

Exercice 3. SoitE un espace de Fréchet dont les semi-normes sont notées(pm)_m∈N. (3.1) Montrer que l’application

d(e, f) = X

m∈N

2^−m pm(e−f)

1 +pm(e−f), ∀e, f ∈E

définit une distance surE.

(3.2) Montrer que les suites convergentes (resp. de Cauchy) de(E,TP)et de(E, d)coïncident.

(3.3) En déduire que la topologie TP définie par les semi-normes est la même que celle induite par la distance d.

Exercice 4. SoitC0(Ω)l’ensemble des fonctions continues sur un ouvertΩdeR. Considérons une suite croissante(K_m)_m∈N de compacts dont l’union donneΩ. Pour toutm∈N, on pose

p_m(f) = sup

x∈K_m

|f(x)|, ∀f ∈C₀(Ω).

(6.1) Montrer que pour toutm∈N,pmest une semi-norme sur C0(Ω).

(6.2) Montrer queC0(Ω)muni des semi-normes(pm)m∈Nest un espace de Fréchet. Que signifie la conver- gence dans cet espace ?

(6.3) Montrer que cet espace de Fréchet n’est pas normable.

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Exercice 5. SoitE un espace vectoriel complexe.

(5.1) Sipet qsont deux semi-normes surE, montrer quemax{p, q} est une semi-norme surE.

(5.2) Soit(pm)_m∈Nune suite de de semi-normes surE. Montrer que l’on peut définir une suite croissante (qm)m∈N de semi-normes sur E qui définit les mêmes suites convergentes et les mêmes suites de Cauchy que (pm)m∈N.

Exercice 6. Soitω=C^N l’ensemble des suites complexes. Pour toutm∈N, on pose p_m(x) =|xm|, ∀x= (x_k)_k∈N∈ω.

(6.1) Montrer que pour toutm∈N,p_mest une semi-norme sur ω.

(6.2) Montrer queωmuni des semi-normes(p_m)_m∈Nest un espace de Fréchet. Que signifie la convergence dans cet espace ?

(6.3) Montrer que cet espace de Fréchet n’est pas normable.

Exercice 7. SoientE et F deux espaces de Fréchet dont les semi-normes sont données respectivement par(p_m)_m∈Net (q_m)_m∈N. Montrer qu’une application linéaire T :E→F est continue si et seulement si

∀m∈N ∃n∈N, C >0tels queqm(T(e))≤Cpn(e)∀e∈E.

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