Chapitre XXVII : Programmes de calcul : tests d’égalités
Liste des objectifs :
a. 5ème :[Pas dans le socle commun]savoir fabriquer une expression littérale liée à une situation donnée.
Mathenpoche : http://www.labomep.net/outils/em/display.php?idres=689 Mathenpoche : http://www.labomep.net/outils/em/display.php?idres=690 Mathenpoche : http://www.labomep.net/outils/em/display.php?idres=691
b. 4ème : [Abordable en 5ème] tester si une égalité comportant une ou plusieurs nombres indéterminées est vraie lorsqu’on leur attribue des valeurs numériques.
Mathenpoche : http://www.labomep.net/outils/em/display.php?idres=692 Mathenpoche : http://www.labomep.net/outils/em/display.php?idres=693 Mathenpoche : http://www.labomep.net/outils/em/display.php?idres=694 Mathenpoche : http://www.labomep.net/outils/em/display.php?idres=698 Mathenpoche : http://www.labomep.net/outils/em/display.php?idres=695 Mathenpoche : http://www.labomep.net/outils/em/display.php?idres=696 Mathenpoche : http://www.labomep.net/outils/em/display.php?idres=697
Exercice n°1 - Trois programmes de calculs
A. Alice et Bertrand saisissent le même nombre de départ sur leurs calculatrices puis effectuent les programmes de calculs suivants :
• Alice multiplie le nombre de départ par 8 puis ajoute 7 au résultat obtenu.
• Bertrand multiplie le nombre de départ par 6 puis ajoute 13 au résultat obtenu.
Ils s'aperçoivent alors que leurs calculatrices affichent le même résultat.
a. Le nombre 1 est-il leur nombre de départ ? ……… Justifie par des calculs :
Calcul avec le programme d’Alice :
……….
Calcul avec le programme de Bertrand :
……….
b. Et le nombre 2 ? ………
Justification :
Calcul avec le programme d’Alice :
……….
Calcul avec le programme de Bertrand :
……….
c. Poursuis jusqu'à ce que tu trouves le nombre solution.
………
………
………
………..………
………
………
………..
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B. Chloé effectue avec le même nombre de départ (celui trouvé au A.c.) qu'Alice et Bertrand le programme de calculs suivant :
• Chloé multiplie le nombre de départ par 3 puis ajoute 30 au résultat obtenu.
Trouve-t-elle le même résultat qu'Alice et Bertrand ? ……
Justification :
………
………
Exercice n°2 – Suite de l’exercice précédent - Sur ordinateur , avec un tableur
Chaque programme de calculs précédent débute maintenant par un même nombre.
1. Dans un tableur, construis le tableau ci-dessous. Programme la cellule B2 en fonction de la cellule B1 pour obtenir le résultat de la suite de calculs d'Alice. Copie alors cette formule dans les cellules C2 à L2 avec la poignée de recopie :
2. Procède de la même façon pour les programmes de calculs de Bertrand et Chloé :
A B C D E F G H I J K L
1 Nombre de départ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 Alice
3 Bertrand
4 Chloé
3. Dans quelle colonne retrouve-t-on la valeur solution de la question A.b.
de l’exercice précédent ?
………
Clic sur le point
Traine
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4. Alice et Chloé cherchent quel nombre afficher sur leurs calculatrices pour trouver le même résultat.
a. En t'aidant du tableur, écris les résultats obtenus par Alice et Chloé à la fin de leurs programmes de calculs quand elles
affichent, sur leurs calculatrices, le nombre 4 au départ.
Alice : ………
Chloé : ………
b. Même question avec le nombre 5.
Alice : ………
Chloé : ………
c. Déduis-en un encadrement du nombre cherché (celui pour lequel les programmes de calculs d’Alice et Chloé donnent le même résultats) par deux entiers consécutifs :
Le nombre cherché est entre ……. et …….
d. Poursuis en remplaçant les valeurs de la ligne 1 par des valeurs décimales bien choisies puis détermine le nombre solution à afficher sur la calculatrice.
Le nombre cherché est : ……….
Exercice n°3 − Le nombre cherché
Joey pense à un nombre, lui ajoute 11, multiplie le tout par 3 et au résultat obtenu il retranche 3. Joey obtient 51.
1. Devine quel est ce nombre de départ.
2. Justifie ta réponse par un calcul de vérification (ou explique pourquoi le nombre que tu as trouvé est le bon).
Exercice n°4 − Calcul pour…
Voici des expressions algébriques : A = 7x²+9 x +5
C = 6 x²+6 x +3
a. Calculer chacune de ces expressions pour x = 0 b. Calculer chacune de ces expressions pour x = 1 c. Calculer chacune de ces expressions pour x = 3 d. Calculer chacune de ces expressions pour x = −1 e. Répondre à chacune des questions posées :
1. L’égalité 7 x²+9x +5 = 5 est-elle vraie pour x = 0 ? Justifier.
2. L’égalité 6 x²+6x +3 = 0 est-elle vraie pour x = 0 ? Justifier.
3. L’égalité 7 x²+9x +5 = 21 est-elle vraie pour x = 1 ? Justifier.
4. L’égalité 7 x²+9x +5 = 5 est-elle vraie pour x = −1 ? Justifier.
5. L’égalité 7 x²+9x +5 = 6x²+6x+3 est-elle vraie pour x = −1 ? Justifier.
Exercice n°5 − Tester pour quelle valeur une égalité est vraie Voici deux expressions algébriques
D = 3 x (7 x + 7) E = 3 x (8 x + 9)
a. Calculer chacune de ces expressions pour x = 0
b. Calculer chacune de ces expressions pour x = 1 3
Exercice n°6 (Source : Sésamath) : Un carré sans coins
On a représenté ci-contre deux parties d'un carré. Il est constitué de petites cases ayant pour côté un carreau.
Celles qui se trouvent sur les bords sont coloriées en rose, sauf les quatre coins.
1. Réalise une figure de 3 carreaux de côté.
Indique le nombre de cases roses.
2. Recommence avec un carré de 4 carreaux de côté.
3. Recommence avec un carré de 5 carreaux de côté.
4. Quel est le nombre de cases roses pour un carré de 6 carreaux de côté ? 5. Quel est le nombre de cases roses pour un carré de 12 carreaux de côté ? 6. Quel est le nombre de cases roses pour un carré de 100 carreaux de côté
?
Exercice n°7 Un carré sans coins : suite et fin.
1. Le professeur appelle c le nombre de carreaux d'un côté du carré et G le nombre de cases roses. Des élèves ont obtenu les expressions suivantes : Anis : G = c × 4 ─ 2
Basile : G = c ─ 2 × 4 Chloé : G = 4 × (c ─ 2) Dalila : G = (c ─ 2) × 4 Enzo : G = 4 × c ─ 8 Florian : G = 4 × c ─ 4
a. Parmi ces expressions, lesquelles sont fausses ? b. Pourquoi ?
2. Y a-t-il plusieurs bonnes réponses ? 3. Justifie.
4. En utilisant une formule correcte, calcule le nombre de cases roses lorsque c = 6 puis c = 24 et enfin pour c = 100.
Exercice n°8 (Source : Sésamath)
1. Calcule g² + 3 puis 3g + 1 en remplaçant d'abord g par 1 2. Calcule g² + 3 puis 3g + 1 en remplaçant g par 2.
3. Que remarques-tu ? 4. Est-ce que g² + 3= 3g + 1?
5. Justifie.
Exercice n°9 (Source : Sésamath) - Rectangles cousins
1. Calcule le périmètre et l'aire des deux rectangles suivants.
Périmètre du premier rectangle : ……….=……
Périmètre du second rectangle : ………..=……
Aire du premier rectangle : ……….=……..
Aire du second rectangle : ……….=……..
2. Que remarques-tu ?
………
3. Dans cette activité, on s'intéresse uniquement aux rectangles dont le périmètre est 40 cm.
a. Un 3ème rectangle a pour longueur L = 16,5 cm. Calcule sa largeur l : Largeur du troisième rectangle :
……….=………..
b. Calcule son aire.
Aire de ce rectangle : ………..=…….
Exercice n°10 – Rectangles cousins – Suite
On s’intéresse toujours aux rectangles dont le périmètre est 40 cm.
a. Donne les mesures d'un 4ème rectangle de même périmètre et de longueur différente de celles des rectangles de l’exercice
précédent :
Largeur : ……….. Longueur : ………..
Périmètre : ………..=……….
Aire : ……….=………
b. La longueur peut-elle valoir 8 cm ? …………
c. Pourquoi : ………
………
d. La longueur peut-elle valoir 21 cm ? ………..
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e. Justifie et donne les valeurs possibles pour la longueur :
………
………
Exercice n°11 – Rectangles cousins – Suite et fin
On s’intéresse toujours aux rectangles dont le périmètre est 40 cm.
a. Écris une expression qui permet de calculer la largeur l en fonction de la longueur L.
………
………
………
………
b. En voulant exprimer l'aire du rectangle en fonction de sa longueur L, des élèves ont donné les réponses suivantes.
Gaël : = L × 20 − L
Inès : = 2 × L + 2 × (20 − L) Hamid : = L × (20 − L) José : = L × 20 − 2 × L Karen : = 20 L − L2 Liam : = L2 − 20 × L Parmi ces expressions, lesquelles sont fausses ?
………
c. Y a-t-il plusieurs bonnes réponses ?
………
d. Justifie.
………
………
………
………
……
Exercice n°12 – Technique de résolution de problèmes du type ax+b = c EXEMPLE :
Pour trouver quand le programme de calcul 4x+6 donne 7 :
x = 1
÷
4 = 0,25 ou 1 44×x = 7 − 6 = 1
4×x + 6 = 7
---
Conclusion : si x=0,25, 4x+6 vaut 7
1. En rédigeant de la même manière, trouver pour quelle valeur le programme de calcul 4t + 5 donne 15
2. Trouver pour quelle valeur le programme de calcul 2y ─ 3 donne 6 en rédigeant de la même manière.
3. Trouver quand 3k +8 = 15 en rédigeant de la même manière.
4. Résoudre 14= 7h +4 (c’est la même chose que 7h + 4 = 14)
× 4
+ 6
−6
pour neutraliser le « +6 »÷ 4
pour neutraliser le « ×4 »On décrit le programme de calcul avec des flèches :
1
On met ce que doit donner ce programme :
« =7 »
On « remonte » en neutralisant chaque opération
3
2
Résultats ou indices – rappel : si une réponse est fausse, la question doit être recommencée en classe.
Ex.1A.a. Non b. Non d. Non B.Non Ex.2 1. Formules à mettre en B2 : =B1*8+7 2.en B3 : = B1*6+13, en B4 ≔B1*3+30 3.E 4.a.39 et 42 4.b.47 et 45 4.c. C’est entre 4 et 5 4.d.4,… Ex.3 7 Ex.4a. 5 et 3 b. 21 et 15 c. 95 et 75 d. 3 et 3.e.1. Oui e.2. Non e.3. Oui e.4. Non e.5. Oui.
Ex.5 a. 0 et 0 b.28 3 et 35
3 Ex.61.4 2.8 3. 12 4. 16 5. 40 6. 392 Ex.71.a. Anis,Basile et Florian : 1.b. 100×4-2 ≠ 392, etc. 2. Chloé, Dalila, Enzo.3.4×(100-2)=392, et 4×(c-2)=(c-
2)×4=4×c-4×2=4×c-8 Ex.81. Cela donne 4 pour les deux. 2. Cela donne 7 pour les deux. 4. Non 5.
Calcule pour g = 0…Ex.91.40 ;40 ; 75 ;96 2.même périmètre, pas même aire. 3.a.3,5 b.57,75 Ex.10 : b. Non : ce serait une largeur d. Non e. de 10 à 20 Ex.11a.l=(40─2×L)/2
b.Gaël,Inès,José,Liam c.Les autres. d. L×l = L×(40─2×L)/2 = L×(20─L) = L×20─L2Ex.121.2,5 2.4,5 3.7
34. 10 7
