Feuille d’exercices : Nombres complexes.

BCPST1 ann´ee 2019-2020

Feuille d’exercices : Nombres complexes.

Exercice 1. On consid`ere l’ensemble : E =n

a+b√

2,(a, b)∈Q o

Pour un ´el´ement z=a+b√

2, on noteC(z) =a(on dira le ”c” de z) etD(z) =b(on dira le ”c” de z) 1. Soient z = a+b√

2 et z⁰ =a⁰+b⁰√

2 deux ´el´ements de E. Montrer que z+z⁰ est un ´el´ement de E.

D´eterminerC(z+z⁰) et D(z+z⁰).

2. Soient z = a+b√

2 et z⁰ =a⁰−b⁰√

2 deux ´el´ements de E. Montrer que z−z⁰ est un ´el´ement de E.

D´eterminerC(z−z⁰) et D(z−z⁰).

3. Soient z = a+b√

2 et z⁰ = a⁰ +b⁰√

2 deux ´el´ements de E. Montrer que zz⁰ est un ´el´ement de E.

D´eterminerC(zz⁰) et D(zz⁰).

4. Soient z = a+b√

2 et z⁰ = a⁰+b⁰√

2 deux ´el´ements de E. Montrer que z/z⁰ est un ´el´ement de E.

D´eterminerC(z/z⁰) et D(z/z⁰).

5. Soit z=a+b√

2 un ´el´ement de E. On notez=a−b√

2. Montrer queD(z×z) = 0

Exercice 2. On suppose maintenant l’existence d’un ensemble de nombre plus grand queR, dans lequel il existe un nombre itel quei² =−1.

Dans cet ensemble, on consid`ere l’ensemble : E ={a+bi,(a, b)∈R}

Pour un ´el´ement z = a+bi, on note Re(z) = a (On lira ”partie r´eel” de z) et Im(z) = b (On lira partie imaginaire de z)

1. En utilisant le fait que i² = −1, simplifier les expressions suivantes (en les mettant sous la forme a+ib) :

(a) (2−3i)(5−i) (b) (2−3i)²

(c) i(4 + 3i) + 2i(8i−1) (d) 4−i

i

(e) 2−3i 5−i

2. Soient z = a+bi et z⁰ = a⁰ +b⁰i deux ´el´ements de E. Montrer que z+z⁰ est un ´el´ement de E.

D´eterminer Re(z+z⁰) et Im(z+z⁰).

3. Soient z = a+bi et z⁰ = a⁰ −b⁰i deux ´el´ements de E. Montrer que z−z⁰ est un ´el´ement de E.

D´eterminer Re(z−z⁰) et Im(z−z⁰).

4. Soientz=a+bietz⁰ =a⁰+b⁰ideux ´el´ements deE. Montrer quezz⁰ est un ´el´ement deE. D´eterminer Re(zz⁰) et Im(zz⁰).

5. Soientz=a+bietz⁰ =a⁰+b⁰ideux ´el´ements deE. Montrer quez/z⁰ est un ´el´ement deE. D´eterminer Re(z⁰/z) et Im(z⁰/z).

6. Soit z=a+bietz⁰ =a⁰+b⁰iun ´el´ement deE. On note z=a−bi.

(a) D´eterminerzz⁰

(b) Montrer que Im(z×z) = 0

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