Terminales S Exercices sur les nombres complexes

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Terminales S Exercices sur les nombres complexes

Page 1 sur 4 Exercice 1 :

1) Calculer i², i³ et i⁴. 2) En déduire i²⁰⁰² et i²⁰⁰⁷.

3) Déterminer les entiers n pour lesquels iⁿ est un imaginaire pur.

Exercice 2 :

Ecrire sous forme algébrique chacun des nombres complexes suivants :

( ) ( ) ( )( ) ( ) ⁽ ⁾ ⁽ ⁾

²

1 1 3 2 2 5 7 4 3 1 3 1 4 2 5

z = + i − +i z = −i + i z = +i −i z = + i

Exercice 3 :

Calculer

(

¹⁺ⁱ

)

². En déduire que

(

¹⁺ⁱ

)

⁸^et

(

¹⁺ⁱ

)

¹² sont réels.

Exercice 4 :

Ecrire sous forme algébrique chacun des nombres complexes suivants :

2

1 2 3 4 5 6

8 1 5 1 4 2 3 1 1

2 3 2 2 2 3 2 2 2

i i i i i

z z i z z z z

i i i i i i i i

−  −  − +

= = + =  = + = = −

−  −  + + − + −

Exercice 5 :

Pour quelles valeurs du paramètre réel λ, le nombre complexe ^z⁼

(

^λ⁺ⁱ

) (

^λ^{+ −}⁵ ⁱ

(

^λ⁻⁷

) )

est – il un imaginaire pur ? Exercice 6 :

Quelles conditions doivent vérifier les réels a et b pour que le nombre complexe

( )

(

²

) ( ( ) )

z= a− −b i a+b − −a i a+b soit un nombre réel ? Exercice 7 :

Résoudre dans , les équations suivantes :

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 3 3 2 3 0 3

3 5 2 2 3 4 1 4

3

a iz z i b z i z i c z z i iz

d z iz i z iz e z i

iz

− = + − + + = + = −

− + = − − − =

+

Exercice 8 :

Résoudre dans , les systèmes suivants : ¹ ² ¹ ²

1 2 1 2

3 1 7 2

2 11 2 3 17

z z i z z i

i z z i z i z

+ = − − =

 

 

+ = − + = −

 

Exercice 9 :

Résoudre dans , chacune des équations suivantes :

( )

^a ^z²⁻⁴^z⁺⁵³⁼⁰

( )

^{b z}²⁺²^z^{+ =}⁶ ⁰

( )

^c ⁹^z²⁻⁶^z⁺³⁷⁼⁰

( )

^d ^z²⁻

(

¹⁺ ²

)

^z⁺ ²⁼⁰

Exercice 10 :

1) Résoudre l’équation

( )

^E ^z²^{+ + =}^z ^{1 0}

On note j la solution de (E) dont la partie imaginaire est positive.

2) Montrer que j² j ¹

= = j et que j³=1.

3) Donner les valeurs de jⁿ suivant les valeurs de l’entier naturel n.

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Page 2 sur 4 Exercice 11 :

On considère l’équation

( )

^E ^z³⁻²^z²^{+ − =}^z ² ⁰

1) Vérifier que 2 est une solution de (E).

2) Montrer qu’il existe des réels a, b et c tels que ^z³⁻²^z²^{+ − =}^z ²

(

^z⁻²

) (

^az²⁺^bz⁺^c

)

3) Résoudre alors l’équation (E) dans . 4) En déduire les solutions de l’équation

( )

3 2

1 1 1

' 2 2 0

1 1 1

z z z

E z z z

− − −

     

− + − =

     

+ + +

     

Exercice 12 :

A chaque point M d’affixe z du plan complexe, on associe le point M ’ d’affixe z'=

(

z−i

)(

3 2+ iz

)

. Déterminer l’ensemble des points M pour lesquels M ’ appartient à l’axe imaginaire.

Exercice 13 :

A chaque point M d’affixe z du plan complexe, on associe le point M ’ d’affixe z^'=

(

z−¹

)(

z −i

)

. Déterminer l’ensemble des points M pour lesquels M ’ appartient à l’axe imaginaire.

Exercice 14 : Déterminer les modules des nombres complexes suivants :

( ) ⁽ ⁾

1 2 3 4

2

5 1 6 7

1 1 3 6 2 5 3

1 6 2 5 3

1 3

z i z i z i z i

z z z i z i i

i

= + = − = − = − +

= = + = − − +

− Exercice 15 :

1) Déterminer géométriquement l’ensemble des points M d’affixe z du plan complexe vérifiant : a) z− =1 z−i

b) z+ =i 4

2) Donner, dans chaque cas, une équation cartésienne de l’ensemble trouvé.

Exercice 16 :

A chaque point M d’affixe z du plan complexe, on associe le point M ’ d’affixe ' ² 1 z z

iz

= + + . 1) On note A le point d’affixe −2 et B celui d’affixe i.

Interpréter géométriquement le module de z'.

2) Déterminer géométriquement l’ensemble des points M tels que z' =1. Donner une équation cartésienne de cet ensemble.

Exercice 17 :

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct

(

O u v, ,

)

. On prendra pour unité graphique 5 cm.

On pose z₀=2et, pour tout entier naturel n, ₁ ¹

n 2 n

z ₊ +iz

= .

1) On note A_n le point du plan d'affixe z_n. Calculer z₁,z₂,z₃,z₄ et vérifier que z₄ est un nombre réel.

Placer les points A₀, A A₁, ₂, A₃, A₄sur une figure.

2) ∀ ∈n , on pose u_n = z_n . Etablir que , 2 ² 2

n

n un  

∀ ∈ =  

 

3) A partir de quel rang n₀ tous les points A_n appartiennent-ils au disque de centre O et de rayon 0,1 ? 4) a) Etablir que, pour tout entier naturel n, ¹

1

n n

n

z z

z i

+ +

− = . En déduire la nature du triangle OAnAn+1. b) Pour tout entier naturel n, on note L_n la longueur de la ligne brisée A₀A₁A₂...A_n-1A_n.

On a ainsi : Ln = A0A1 + A1A2 + ... + An-1An.

Exprimer Ln en fonction de n. Quelle est la limite de la suite (Ln) ?

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Page 3 sur 4 Exercice 18 : BAC Pondichéry 2004

Le plan est rapporté au repère orthonormal

(

^{O u v}^{, ,}

)

. On prendra une unité graphique de 3 cm. On définit l’application f qui à tout point M d’affixe z du plan associe le point M’ d’affixe z’ avec

(

³ ⁴

)

⁵

' 6

i z z

z + +

= .

1) On considère les points A, B, C d'affixes respectives zA = 1 + 2i, z_B = 1 et z_C = 3i.

Déterminer les affixes des points A ', B ', C ' images respectives de A, B, C par f . Placer les points A, B, C, A ', B ', C ' dans le repère.

2) On pose z= +x i y (avec x et y réels).

Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de z ' en fonction de x et y.

3) Montrer que l'ensemble des points M invariants par f est la droite (D) d'équation ¹ y=2x. Tracer (D). Quelle remarque peut-on faire ?

4) Soit M un point quelconque du plan et M ' son image par f . Montrer que M ' appartient à la droite (D).

5) a) Montrer que, pour tout nombre complexe z on a : ^'

6 3

A

z z z z z z

z i

− + −

= +

En déduire que le nombre ^'

A

z z z

− est réel.

b) En déduire que, si M' M, les droites (OA) et (MM ') sont parallèles.

6) Un point quelconque N étant donné, comment construire son image N ' ? On pourra étudier deux cas, suivant que N appartient ou non à (D).

Effectuer la construction sur la figure.

Exercice 19 : BAC Amérique du nord 2006

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct

(

O u v, ,

)

(unité graphique 2 cm), on considère les points A, B et C d'affixes respectives z_A=2, z_B = +1 i 3 et z_C = −1 i 3.

Partie A

1) Donner la forme trigonométrique de z_A puis z_B. Placer les points A, B et C.

2) Déterminer la nature du quadrilatère OBAC.

3) Déterminer et construire l'ensemble D des points M du plan tels que z = z−2 . Partie B

A tout point M d'affixe z tel que z ≠ zA , on associe le point M ' d'affixe z’ défini par ' ⁴ z 2

z

= − − . 1) a) Résoudre dans  l'équation ' ⁴

z 2

= −z

− .

b) En déduire les points associés aux points B et C.

c) Déterminer et placer le point G' associé au centre de gravité G du triangle OAB.

2) a) Question de cours :

Prérequis : Le module d'un nombre complexe z vérifie z²=z z où z est le conjugué de z.

Démontrer que : Pour tous nombres complexes z₁ et z₂, z₁×z₂ = z₁ × z₂ . Pour tout nombre complexe z non nul, ¹ ¹

z = z . b) Démontrer que pour tout nombre complexe z distinct de 2, ' 2 ²

2 z z

− = z

− .

c) On suppose dans cette question que M est un point quelconque de D , où D est l'ensemble défini à la question 3) de la partie A.

Démontrer que le point M ' associé à M appartient à un cercle Γ dont on précisera le centre et le rayon.

Tracer Γ.

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Page 4 sur 4 Exercice 20:

On considère le plan complexe

(

^{O u v}^{, ,}

)

. Par lecture graphique, déterminer un argument de chacune des affixes des points A, B, C, D et E.

Exercice 21 :

Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes suivants :

1 1 2 3 2 4 6 2 5 1 3

z = − +i z =i z = − z = −i z = −i

Exercice 22 : Ecrire les nombres suivants sous forme exponentielle :z₁=3, z₂= −2, z₃= −i z, ₄ = − +5 5i 3 Exercice 23 : Ecrire les nombres suivants sous forme algébrique :

2

2 2 3

1 eⁱ 2 e ⁱ 3 eⁱ 4 4eⁱ

z z z z

π π

π − π

= = = =

Exercice 24 :

Ecrire sous forme exponentielle les nombres complexes z₁= − +2 2 et i z₂ = − −3 i 3. Ecrire ensuite la forme exponentielle du produit z z₁ ₂.

Exercice 25 : Ecrire les nombres suivants sous forme exponentielle :

( )

⁴

1 2 3

sin cos

1 3 12 12

3 3

3 cos sin

12 12

i i

z i z z

i i

π π

+ −

= + = =

− +

Exercice 26 : On considère les nombres complexes z₁= 6−i 2 et z₂= −2 2i. 1) Ecrire sous forme algébrique le quotient ¹

2

z z . 2) Ecrire sous forme exponentielle ₁ ₂ ¹

2

, et z z z

z . 3) En déduire les valeurs exactes de cos et sin

12 12

π π

Exercice 27 : Asie Juin 2007

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct

(

^{O u v}^{, ,}

)

. Unité graphique 4 cm.

Soit λ un nombre complexe non nul et différent de 1.

On définit, pour tout entier naturel n, la suite

( )

^zn de nombres complexes par : z₀=0 et ∀ ∈n , z_n₊₁=λz_n+i On note M_n le point d’affixe z_n

1) Calcul de z_n en fonction de n et λ.

a) Vérifier les égalités z1=i z2=

(

λ+1 et

)

i z3=

(

λ²+λ+1

)

i. b) Démontrer que, pour tout entier naturel n positif ou nul, ¹

1

n

zn λ i

λ

= −

− 2) Etude du cas λ=i

a) Montrer que z4 = 0.

b) Pour tout entier naturel n, exprimer zn+1 en fonction de n.

c) Montrer que Mn+1 est l’image de M_n par une rotation dont on précisera le centre et l’angle.

d) Représenter les points M0, M1, M2, M3 et M4 dans le repère

(

O u v, ,

)

3) Caractérisation de certaines suites :

a) On suppose qu’il existe un entier naturel k tel que λ^k = 1.

Démontrer que, pour tout entier naturel n, on alors l’égalité z_{n k}₊ =z_n

b) Réciproquement, montrer que s’il existe un entier naturel k tel que, pour tout entier naturel n, on alors l’égalité z_{n k}₊ =z_n, alors λ^k = 1.