Faculté des Sciences Appliquées
Nom et prénom : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Examen de Mécanique Rationnelle 1
N° : _ _ _ _ _
Année académique 2009-10
1
èresession – 11 janvier 2010
Page 1 / 4 Indiquez NOM, PRENOM et numéro sur chaque feuille de papier ministre ainsi que sur l’énoncé et le brouillon.
L’examen se déroule de 14H00 à 18H00.
Ne sont autorisés que le matériel d’écriture et de dessin éventuel.
Répondez à une question par feuille de papier ministre.
Déposez votre carte d’identité sur le banc.
Attention : Indiquez les développements et justifications de vos réponses. Une réponse sans développement ou justification ne sera pas prise en compte !!!
Question 1 – Théorie /4
Q1.1 : Donnez la norme et le point d’application de la force ponctuelle équivalente à la charge répartie p(x) (démontrez).
Q1.2 : Les systèmes suivants sont il isostatiques ? Justifiez.
Système A :
Système B:
Système C :
Système D :
Q1.3 : Un système bielle manivelle est schématisé ci-dessous. Les forces F1 et F2 sont connues. Quel type d’appui trouve-t-on au point C ? Par quelles réactions de liaison peut-on le remplacer (dessinez ces réactions sur un schéma)?
Q1.4 : A partir du schéma de la question Q1.3, proposez:
Un déplacement virtuel qui permette de trouver la position d’équilibre du système.
Un(des) déplacement(s) virtuel(s) qui permette(nt) de trouver la(les) force(s) de liaison au point C.
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Question 2 – Centre de masse /4
On suspend en A un corps constitué :
D’un demi-cercle homogène de rayon R.
De deux quarts de cercles homogènes EF et CD de rayon R/6.
De 2 tiges homogènes BC et AF de longueur R/3.
D’une tige homogène DE.
La masse linéaire est λ pour l’ensemble des éléments.
Les coordonnées du centre de masse d’un quart de cercle homogène de rayon R peuvent s’exprimer sous la
forme .
Q2.1 : Déterminez α afin d’exprimer les coordonnées du centre de masse d’un quart de cercle.
Q2.2 : Déterminez le centre de masse du corps.
Q2.3 : Déterminez l’angle formé par AB et la verticale lorsque le corps est à l’équilibre.
Q2.4 : Déterminez les réactions de liaison en A.
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Question 3 – Théorèmes généraux /4
Un vélo tout terrain est muni d’une suspension arrière fonctionnant avec un amortisseur contenant un bain d’huile et une chambre à air haute pression. Cette dernière est assimilable à un ressort linéaire classique dont la constante de rappel k est fonction de la pression. Le mécanisme est représenté sur le schéma suivant.
Toutes les données géométriques sont connues. Le système est composé de 3 corps solides. La barre horizontale est liée au milieu extérieur au point H par une rotule. Le solide triangulaire est lié au milieu extérieur au point C par une rotule. La barre oblique est liée à la barre horizontale par une rotule au point A et au solide triangulaire par une rotule au point B. Le solide triangulaire est lié à la barre horizontale par
l’intermédiaire d’un ressort. Le système est soumis à une force verticale connue et appliquée sur la barre horizontale.
Q3.1 : Déterminez les diagrammes du corps libre pour le système complet ainsi que pour chaque solide isolé.
Q3.2 : Le système est il isostatique ? Justifiez.
Q3.3 : Par la méthode des théorèmes généraux, écrivez un système d’équations qui permette de trouver toutes les inconnues du système (réactions avec le monde extérieur, liaisons entre solides et force dans le ressort de l’amortisseur). Ne pas résoudre le système.
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Question 4 – Travaux virtuels /4
Une lampe munie de son système de positionnement est représentée sur la figure suivante. La lampe est fixée à un triangle qui est raccordé à un piquet par l’intermédiaire de deux barres parallèles. Le frottement dans la liaison lampe-triangle est suffisant pour empêcher tout mouvement relatif. L’ensemble triangle-lampe possède une masse m. La longueur libre du ressort hélicoïdal est b/2.
Q4.1 : Quel est le nombre de degrés de liberté du système ? Le système est il isostatique ? Indiquez votre raisonnement.
Q4.2 : En utilisant la méthode des travaux virtuels, déterminez, en fonction de , la constante de rappel k du ressort pour que le système soit à l’équilibre.
Q4.3 : Donnez la ou les conditions sur l’angle pour que le système soit à l’équilibre. (Note : simplifiez au maximum l’équation obtenue au point précédent)
Question 5 - Frottement /4
Une pile de classeurs est posée sur le sol (cf. figure ci-dessous). On suppose que chaque corps (classeur) subit un système de forces concourantes passant par son centre de masse. Le coefficient de frottement entre 2 classeurs est f1 et entre un classeur et le sol est f0.
Système A Système B
!!! Pour les questions Q5.1 et Q5.2, considérez un système constitué de 2 classeurs (système A). !!!
Q5.1 : Dessinez les diagrammes du corps libre pour le système complet ainsi que pour chacun des corps.
Q5.2 : Ecrivez les équations d’équilibre, résolvez le système obtenu et déterminez l’angle limite β correspondant à l’équilibre limite.
Q5.3 : Comment varie cet angle si l’on considère un système constitué de 3 classeurs ? Et avec 4 classeurs ? Justifiez et déduisez le nombre de classeurs que l’on peut empiler sans faire tomber toute la pile.
