Sup PCSI2 — Devoir 2004/07
Q1 SoientAetB deux matrices carr´ees sym´etriques d’ordren. Montrez queAetBcommutent ssi leur produit AB est lui-mˆeme sym´etrique.
Q2 ´Enoncez et d´emontrez une propri´et´e analogue, dans le cas de deux matrices carr´ees antisym´etriques.
IPour (p, q, r)∈R3, d´efinissons :
Tp,q,r=
p q r
q p+r q
r q p
NotonsV l’ensemble des matricesTp,q,r, o`u (p, q, r) d´ecritR3. Q3 Montrez que V est un s.e.v. deM3(R).
Q4 Exhibez une basetr`es simple deV.
Q5 Montrez que V est un sous-anneau deM3(R).
Q6 Ce sous-anneau est-il commutatif ? INotonsQ=T1,0,−3.
Q7 CalculezQ2, en d´eduire une relation liantQ,Q2 etI3. Q8 Prouvez queQest inversible, et explicitezQ−1.
Q9 Calculez le reste dans la division euclidienne deXn parX2−2X−8.
Q10 En d´eduire, pourn∈N, l’expression deQn en fonction deQ,I3 et n.
Q11 Nous venons d’´etablir une expression de Qn, pour n ∈ N. Cette expression est-elle encore valable pour n∈Z?
[Devoir 2004/07] Compos´e le 21 f´evrier 2005
