A2836. Déradicalisation ***
Q1 Trouver trois entiersk,petq>0 tels que q
12+7p 3=pk
p+pk q. Q2 Trouver un entierket deux rationnelsuetvtels que
q
51+13p 17=pk
u+pk v.
Q3 Trouver trois nombres rationnelsa,b,ctels que q3
p3
2−1=p3 a+p3
b+p3 c.
Solution de Claude Felloneau
Q1 p
12+7p 3=p4
27+p4 48.
En effet, q
12+7p 3=
rp 3³
4p 3+7´
= rp
3³p 3+2´2
=p4 3³p
3+2´
=p4 3³p4
9+p4 16´
=p4 27+p4
48.
Q2
p51+13p 17= 4
r1377 4 + 4
r4913 4 . En effet,
q
51+13p 17=
sp 17 2
³6p
17+26´
= s
r17 4
³p 17+3´2
= 4 r17
4
³3+p 17´ donc
q
51+13p 17= 4
r81×17 4 + 4
s 173
4 = 4 r1377
4 + 4 r4913
4 Q3 3
p2−1= 3 r1
9+ 3 r
−2 9+ 3
r4 9. En effet
p3
2−1= p3
2−1
¡p3
2¢3
−1= 1 1+p3
2+p3
4= 3
1+3p3
2+3¡p3
2¢2
+2=1 9
27
¡p3
2+1¢3=1 9
µ 3 p3
2+1
¶3
donc
p3
2−1=1 9
à ¡p3
2¢3
+1 p3
2+1
!3
=1 9
³1−p3 2+p3
4´3
d’où
q3
p3
2−1= 3 r1
9
³ 1−p3
2+p3 4´
= 3 r1
9+ 3 r
−2 9+ 3
r4 9
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