3.2. Chute verticale et tir vertical dans l’air

(1)

3. Mouvement d’un point matériel libre pesant 3.1. Chute verticale et tir vertical dans le vide

P = point mat. libre

? Mouvement de P

C.I. : en t = 0

o o

v v

P P

=

≡

verticale (ou nulle)

référentiel galiléen

champ de pesanteur constant, résistance de l’air∃

(2)

y x

) 0 ( =

≡ P t O

z

1°) Théorème de la résultante cinétique ⇒ mj = mg (*)

t z gt z

y x

2 o

2 1 0 0

&

+

−

=

⇒ g

z y x

−

=

&&

0 0

⇔ (*) Choix des axes :

z z

v_o =&_o 1

avec

M.R.U.A.

⇒

2°) Théorème de l’énergie cinétique

2

1 mv² +mgz = E_o

⇒

gz v

v 2

² = _o² −

⇒

* 2

o2

g h = v altitude maximum de P =

NB. : si z&_o> 0,

atteinte en

* ^o g t = v

(3)

3.2. Chute verticale et tir vertical dans l’air

C.I. : en t = 0

o o

v v

P P

=

≡

verticale (ou nulle)

champ de pesanteur constant

+ résistance de l’air 1°) proportionnelle à la vitesse

2°) proportionnelle au carré de la vitesse

(4)

1°) Cas d’une force de résistance de l’air proportionnelle à la vitesse Théorème de la résultante cinétique ⇒ mj = mg −mkv (k > 0)

z

) 0 ( =

≡ P t

O ⇒ z&&+ kz& = −g

= vitesse critique = vitesse asymptotique k

g/

− -g / k

z&o Etude du mouvement si v_o ↑

t₁ t* t

z&

*

1

1 ln _o

0 1 o

g t z g

z k t k

k

&

&   → =

 



 +

= → Rem. :t₁ < t*

Temps de montée :

2

*

1 ln

o2 0

o 2

1 o

g h z

g z k k

g k

h v

k

&

&   → =

 



 +

−

= → Rem. :h₁ < h*

Altitude maximum :

k t e g

k z k

z = g + − ^kt −

⇒ )(1 ⁻ )

(

^o

2

&

(5)

2°) Cas d’une force de résistance de l’air proportionnelle au carré de la vitesse Théorème de la résultante cinétique ⇒ mj = mg −mkv²1_v (k > 0)

z

) 0 ( =

≡ P t

O ⇒ z&&±kz&² = −g

+ si P monte

- ^si ^{P descend}

Si v_o ↑ :

altitude maximum :











 +

= ln 1

2

1 _o²

2 g

kv h k

vitesse en O à la descente : _o

o2

2 v

kv g z g

− +

& =

(6)

3.3. Tir oblique dans le vide

C.I. : en t = 0

o o

v v

P P

=

≡

oblique (donnée)

champ de pesanteur constant, résistance de l’air∃

(7)

) 0 ( =

≡ P t O

v_o

α

x y

z

Choix des axes :

g z

y x

−

=

&&

0 0

⇔

(*) ⇒

α α

sin 2

/ 0

cos

2 o o

t v gt

z y

t v x

+

−

=

z

vo h

vS

portéehorizontale du tir :

α 2 sin

o2

g X = v

x

S v

v = _ocosα1 1°) Théorème de la résultante cinétique ⇒ mj = mg (*)

≡

⇒ trajectoire = parabole de tir

α

^tg

α

cos

2

₂

2 2 o

x v x

z = − g +

(8)

v_o²/2g

x z

v_o²/g

v_o²/4g

α = 30°

α = 45°

α = 60°

α = 90°

(9)

x z

v_o²/2g

v_o²/g

v_o²/4g

parabole de sécurité α = 30°

α = 45°

α = 60°

α = 90°

(10)

3.4. Tir oblique dans l’air

C.I. : en t = 0

o o

v v

P P

=

≡

oblique (donnée)

champ de pesanteur constant

+ résistance de l’air 1°) proportionnelle à la vitesse

2°) proportionnelle au carré de la vitesse

(11)

) 0 ( =

≡ P t O

v_o

α

x y

z

1°) Cas d’une force de résistance de l’air proportionnelle à la vitesse Théorème de la résultante cinétique ⇒ mj = mg −mkv (k > 0)

g z

k z

y k y

x k x

−

= +

&

&&

&

&&

&

&&

0 0

⇒

k t e g

k z k

z g y

k e x x

kt kt

−

− +

=

−

=

−

) 1

)(

( 0

) 1

(

o 2

o

&

⇒ où x&_o =v_o cos

α

; z&_o = v_o sin

α

(12)

x0

x

z v0 v_S

vM

S M

k O

trajectoire

x z

vo

vS

vM

g k

k x g x k

z k

z = g+ & −

&

o o

hodographe des vitesses

k t e g

k z k

z g k e x x

kt kt

−

− +

=

−

=

−

) 1

)(

(

) 1

(

o 2

o

&

(13)

2°) Cas d’une force de résistance de l’air proportionnelle au carré de la vitesse Théorème de la résultante cinétique ⇒ mj = mg −mkv²1_v (k > 0)

) 0 ( =

≡ P t O

v_o

α

x y

z

g z

y x

z k z

z y x

y k y

z y x

x k x

−

= +

+ +

= +

+ +

= +

+ +

2 2 2

0 0

&

&&

&

&&

&

&&

⇒

…