Etude expérimentale de la chute verticale d'une bile dans un fluide - Méthode d'Euler

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La chute verticale d'une bille dans un fluide - Méthode d'Euler

1- Objectifs

Les objectifs de ce travail sont de:

- Mettre en œuvre la méthode d'Euler pour déterminer une solution numérique d'une équation différentielle.

- Trouver le modèle le plus pertinent pour l'expression de la force de frottement fluide.

2- Expérience

On s'intéresse à la chute verticale d'une bille d'acier dans l'huile. Une chronophotographie de l'expérience puis un pointage ont permis d'obtenir le graphe v(t) ci-dessous.

La vitesse limite de la bille est vlim=0,94m.s^-1et le temps caractéristique de la chute est



Les caractéristiques de la bille d'acier et des paramètres de l'expérience sont:

masse de la bille: m=4,08g; diamètre de la bille: d=10mm; masse volumique de la bille:





3- Modélisation de la chute

Selon le type de force de frottement que l'on considère, l'équation différentielle du mouvement sur la vitesse s'écrit:

Cas 1: f = k1.v dv

dt+ A1.v = B A1=k₁

m B = g.(1 -ρ_h ρb) Cas 2: f = k2.v² dv

dt+ A2.v²= B A2=k₂ m

a)Déterminer la valeur de la constante B avec 3 chiffres significatifs.

b)La détermination expérimentale de la valeur de la vitesse limite vlimpermet de calculer selon les modèles la valeur de A1 ou A2. Calculer, à partir des équations différentielles, les valeurs de A1 et A2 avec 3 chiffres significatifs.

c)Écrire l'expression numérique des deux équations différentielles, en remplaçant A1, A2 et B par leurs valeurs.

4- Résolution numérique de l'équation différentielle selon la méthode d'Euler

La méthode d'Euler est une méthode numérique de résolution d'une équation différentielle, qui est employée lorsqu'aucune solution analytique n'est possible.

Pour des intervalles de temps ∆t petits on peut faire l'approximation suivante:

dv dt=v

t avec v = v(t +t) -v(t)

v représente la variation de la vitesse entre les dates t et t + ∆t.

a) Dans le cas 1, montrer que pour ∆t petit, on peut écrire: v(t + t) = v(t) + (B - A1.v(t)).t.

b)Ecrire l'expression de v(t+t) dans le second cas.

Les constantes A1, A2 et B étant connues, ainsi que les conditions initiales et la valeur du "pas"t ayant été choisie, on peut construire point par point le graphe v(t).

5- Calculs à la calculette

Le past est choisi égal à 0,010s. La bille est lâchée sans vitesse initiale à la date t0= 0s.

a)Cas 1: modélisation de f en f = k1.v

Calculer les six premières valeurs de v(t) et compléter le tableau suivant, en gardant 3 chiffres significatifs.

Expression de t Valeur de t(s) Expression de v(t) Valeur de v(t) (m.s^-1)

t0 0,000 v(t0) 0,000

t1= t0+t v(t1) =

t2= t1+t v(t2) =

t3= t2+t v(t3) =

t4= t3+t v(t4) =

t5= t4+t v(t5) =

t6= t5+t v(t6) =

Remarque: Une valeur particulière de la fonction v(t), à un instant tn, sera notée v(tn).

b)Cas 2: modélisation de f en f = k2.v²

Calculer les six premières valeurs de v(t) et compléter le tableau ci-dessous, en gardant 3 chiffres significatifs.

Expression de t Valeur de t(s) Expression de v(t) Valeur de v(t) (m.s-1)

t0 0,000 v(t0) 0,000

t1= t0+t v(t1) =

t2= t1+t v(t2) =

t3= t2+t v(t3) =

t4= t3+t v(t4) =

t5= t4+t v(t5) =

t6= t5+t v(t6) =

6- Calculs à l'aide d'un tableur grapheur

Ces calculs fastidieux peuvent être automatisés avec un ordinateur et un tableur-grapheur, tel qu'Excel.

Ouvrir le fichier: "Euler Elève.xls". La feuille "Expérience" rappelle les résultats expérimentaux.

a)Cas 1: modélisation de f en f = k1.v

Cliquer sur la feuille "Modèle en f = k1.v".

Entrer la valeur du past, les valeurs des constantes A1et B, les valeurs initiales de t et v(t).

Etablir la formule de calcul pour calculer t1dans la cellule A10, et la formule de calcul pour calculer v(t1) dans la cellule B10.

Entrer les formules précédentes dans les cellules respectives, puis copier les formules en sélectionnant les cellules A10 et B10 puis en tirant sur la "croix" en bas à droite jusqu'à la ligne 52 incluse.

Vérifier les valeurs de v(t) affichées avec celles calculées avec la calculette

Représenter le graphe de v(t) obtenu par la méthode d'Euler et les points expérimentaux.

Le modèle en f = k1.v est-il satisfaisant ? Pourquoi?

b)Cas 2: modélisation de f en f = k2.v²

Cliquer sur la feuille "Modèle en f = k2.v²".

Entrer les valeurs des différentes constantes.

Etablir la formule de calcul pour calculer t1dans la cellule A10 et la formule de calcul pour calculer v(t1) dans la cellule B10.

Copier les formules jusqu'à la ligne 52 incluse.

Représenter le graphe de v(t) obtenu par la méthode d'Euler et les points expérimentaux.

Le modèle f = k2.v²est-il satisfaisant? Pourquoi?

c)Cas 3: modélisation de f en f = k3.vⁿ

Les deux modélisations précédentes n'étant pas satisfaisantes, on envisage une troisième possibilité.

L'équation différentielle correspondante s'écrit:

dv

dt+ A3.vⁿ= B où n est un nombre réel A partir des deux études précédentes, que peut-on dire de la valeur de n?

Cliquer sur la feuille "Modèle en f = k3.vⁿ".

La valeur de n pourra varier entre 1 et 2 avec le curseur.

Entrer la valeur de la constante B et choisir le past = 0,010s en utilisant le curseur.

Exprimer la constante A3en fonction de B, vlimet n.

Établir la formule de calcul pour A3 dans la cellule B4, la formule de calcul pour calculer t1dans la cellule A10 et la formule de calcul pour calculer v(t1) dans la cellule B10.

Copier les formules jusqu'à la ligne 52 incluse.

Rechercher la valeur de n avec le curseur qui donne la modélisation la plus satisfaisante. Noter cette valeur.

Représenter le meilleur graphe de v(t) obtenu par la méthode d'Euler et les points expérimentaux.

Donner la modélisation de f la plus satisfaisante et l'expression numérique de f.

Calculer sa valeur lorsque le régime permanent est atteint.

Comparer le poids de la bille à la valeur f +en régime permanent. Pourquoi ce résultat pouvait-il être prévu?

d)Influence du past sur la résolution de l'équation différentielle par la méthode d'Euler

Donner à n la valeur correspondant à la meilleure modélisation.

Modifier le past en faisant varier sa valeur avec le curseur entre 0,001s et 0,100s.

Représenter séparément, les graphes de v(t) pourt = 0,010s et pourt = 0,100s.

Quelles observations peut-on faire?

Comparer la valeur du pas donnant une bonne modélisation à la valeur de la constante de temps

