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L A FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN
L A FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN
Capitaine Haddock, Objectif Lune
Alors qu'il travaillait à simplier les calculs trigonométriques des astronomes, John Neper1 fut amené à généraliser les travaux de Nicolas Chuquet2 et Michael Stifel3 sur les liens entre progressions arithmétique et géométrique. Neper inventa ainsi les logarithmes (du grec logos : raison et arithmos : nombre), il publia sa méthode ainsi qu'une table de sinus d'angles en 1614, dans son traité Mirici logarithmorum canonis descriptio.
En 1624, son ami anglais Henry Briggs4 compléta ce travail avec une table de logarithme décimaux. Les logarithmes représentèrent une révolution dans le monde du calcul. Képler5 notait en 1624 :
Je résous la question par le bienfait des logarithmes, je ne pense pas que quelque chose soit supérieur à la théorie de Neper... .
Plus tard, avec Descartes puis Euler, le logarithme prendra son statut de fonction.
De nos jours on utilise le logarithme dans des calculs concernant l'intensité du son, la magnitude des séismes, le pH d'une substance, le gain lié à une fonction de transfert, etc.
1 L
A FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIENLa fonction exponentielle est dénie et continue sur R, et ayant pour limite 0 en −∞ et +∞ en +∞, alors d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires :
1. John Napier, mathématicien et théologien écossais né en 1550 à Merchiston Castle (près d'Edimburg) et mort en 1617 est plus connu sous son nom francisé : John Neper.
2. Nicolas Chuquet, médecin né à Paris en 1445 et mort à Lyon en 1500 environ.
3. Michael Stifel, moine allemand né en 1486 à Esslingen et mort en 1567 à Iena.
4. Henry Briggs, mathématicien anglais né en 1561 à Warley-wood dans le Yorkshire, et mort en 1630 à Oxford.
5. Johannes Képler, né en 1571 à Weil der Stadt (Wurtemberg) et mort en 1630 à Ratisbonne.
LYCÉEBLAISEPASCAL
1
S.DELOBEL M.LUITAUD
Pour tout réel x de
0 ; +∞
, il existe un unique réel y tel que ey =x.
Proposition 1.
La fonction logarithme népérien, notée ln, est la fonction dénie sur
0 ; +∞
qui à tout réelx >0 associe le réel y, notéln(x), dont l'exponentielle estx.
Dénition 2.
On dit que la fonction logarithme népérien est la fonction réciproque de la fonction expo- nentielle.
Quand il n'y a pas d'ambiguïté, on note souventlnxau lieu deln(x).
Exercice 1 Compléter :
1. ey = 7⇔y=... 2. ey =√
2⇔y=...
Exercice 2
Résoudre dans Rl'équation 2e2x−9ex−5 = 0. Voici quelques conséquences directes de la dénition :
1. Pour tout réel x >0 et tout réely,x=ey équivaut ày= lnx. 2. Pour tout réel x >0,elnx =x.
3. Pour tout réel x,ln(ex) =x. 4. ln(1) = 0.
5. ln(e) = 1. Proposition 3.
1. Se déduit directement de la dénition.
2. Se déduit directement de la dénition.
3. Pour tout réelx, siy= ln(ex), alors d'après1,ex=ey, et doncx=y.
4. Puisquee0= 1, alors d'après la dénitionln(1) = 0.
5. Puisquee1=e, alors d'après la dénitionln(e) = 1. Preuve
Dans un repère orthonormal, les courbes représentatives de la fonction exponentielle et du logarithme népérien sont symétriques par rapport à la droite d'équation y=x.
Proposition 4.
−3 −2 −1 1 2 3 4 5
−2
−1 1 2 3
0
y=ex
y= lnx y=x e
e
On noteC etC0 les courbes représentatives des fonctionsexpetln. À l'aide de la dénition de la fonction exponentielle, on peut dire queM(x;y) appartient àC0 équivaut à dire quey= ln(x), ce qui équivaut à x=ey, ce qui équivaut nalement à dire queM(y;x)appartient àC.C etC0 sont donc symétriques par rapport à la droite d'équationy=x.
Preuve
Pour tous réelsaetb de
0 ; +∞
:
1. lna= lnb⇐⇒a=b 2. lna <lnb⇐⇒a < b Proposition 5.
À faire. Idée : utiliser les propriétés analogues déjà démontrées pour la fonction exponentielle.
Preuve
La fonction lnest strictement croissante sur
0 ; +∞
.
Corollaire 6 (Sens de variation de la fonction logarithme népérien).
Exercice 3
Résoudre les équations et inéquations suivantes : 1. lnx=−5
2. ln(2x−1)>−2
3. ln(1 +x)6100 4. ln(x2−4)<lnx
2 P
ROPRIÉTÉS ALGÉBRIQUESCommençons par donner la propriété fondamentale, concernant le logarithme d'un produit :
Pour tous réelsaetb de
0 ; +∞
:
ln(ab) = lna+ lnb Théorème 7 (Relation fondamentale).
Le logarithme transforme les produits en sommes .
Idée : comparer les exponentielles des deux membres.
Preuve
De cette relation fondamentale découlent les résultats suivants :
Pour tous réelsaetb de
0 ; +∞
: ln
1 b
=−lnb lna
b
= lna−lnb ln (an) =nlna où n∈Z ln √
a
= 1 2lna Propriété 8.
À faire. (Utiliser la relation fondamentale.) Preuve
Attention à ne pas confondreln(an) et(lna)n.
Exercice 4
1. Exprimer en fonction de ln 3: ln 27 ; ln
1 9
; ln 63−ln 7 ; ln 9√
3
; 2 ln 6−ln 4
2. Simplier l'écriture de : a= ln √
5 + 1
+ ln √ 5−1
2 ; b= ln
2 +√ 35
+ ln 2−√
35
3. SimplierS =
99
P
n=1
ln n
n+ 1
.
Exercice 5
Résoudre les équations et inéquations suivantes : 1. 2 lnx= ln 3 + ln(2x+ 3)
2. ln(x2) = ln 3 + ln(2x+ 3)
3. ln(x2−3)6lnx+ ln 2 4. (lnx)2−3 lnx+ 2 = 0
Exercice 6
Soit (un) la suite géométrique de premier termeu0 = 2 et de raison 32. 1. À partir de quel rang a-t-onun>1000?
2. Et siq = 12, à partir de quel rang a-t-onun60,1?
3 É
TUDE DE LA FONCTIONln
3.1 Limites
x→+∞lim lnx= +∞
x→0limlnx=−∞
Propriété 9.
À faire.
Pour la limite en+∞, revenir à la dénition de limite innie. Pour la limite en0, on pourra poserX=x1. Preuve
Exercice 7
Déterminer la limite en +∞de : 1. f(x) = ln
x+ 1 x2−4
2. g(x) =x(lnx)2−3 lnx 3.2 Continuité et dérivabilité
La fonction ln est continue et dérivable sur
0 ; +∞
, et pour tout x dans
0 ; +∞
on a : ,
ln0(x) = 1 x Propriété 10.
On admet la continuité et la dérivabilité de la fonctionln.
Pour ensuite déterminer la dérivée deln, on peut dériver les deux membres de l'égalité :elnx=x. Preuve
En conséquence, grâce au théorème de dérivation des fonctions composées (chapitre 1) :
Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I. La fonction lnuest dérivable sur I et on a :
(lnu)0 = u0 u Propriété 11.
Exercice 8
Dériver les fonctions f, g, hetk dénies par : 1. f(x) =xlnx sur
0 ; +∞
2. g(x) = ln√
1 +x2 surR
3. h(x) = ln
x−1 x+1
sur
1 ; +∞
4. k(x) = ln
x−1 x+1
sur
−∞;−1
3.3 Représentation graphique
De toutes les informations précédentes on tire le graphe de la fonctionln(on a également repré- senté la tangente à la courbe au point d'abscisse 1 et celle au point d'abscissee) :
−1 1 2 3 4 5 6
−4
−3
−2
−1 1 2
0
y= lnx
e
y=x−1 y= 1ex
3.4 D’autres limites à connaître
Quelques limites supplémentaires sont à connaître an de lever certaines indéterminations :
x→0lim
ln(1 +x) x = 1.
Proposition 12.
Idée : reconnaître un taux d'accroissement...
Preuve
x→+∞lim lnx
x = 0+
x→0lim+xlnx= 0− Proposition 13 (Croissances comparées).
À faire. (Indication : poserX = lnxet utiliser les croissances comparées concernant la fonction exponen- tielle...)
Preuve
Exercice 9 Calculer :
1. lim
x→+∞(x−lnx) 2. lim
x→+∞
lnx 5x+ 7
3. lim
x→0xln(2x) 4. lim
x→+∞xln
1 + 3 x
4 L
A FONCTION LOGARITHME DÉCIMALLa fonction logarithme décimal est la fonction notée log, dénie sur
0 ; +∞
par logx= lnx
ln 10. Dénition 14.
La fonctionlog a les mêmes propriétés algébriques que la fonctionln.
De plus,ln 10étant positif, la fonction loga le même sens de variation et les mêmes limites aux bornes de
0 ; +∞
que la fonctionln.
−1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−2
−1 1 2
0
y= lnx
y= logx
e
Pour tout nentier relatif :
log(10n) =n.
En particulier, log(10) = 1. Proposition 15.
À faire. Facile.
Preuve
Exercice 10 Le nombre de chires d'un nombre...
1. Avec combien de chires le nombre 720 s'écrit-il ?
Vous pourrez ensuite vérier votre réponse à l'aide d'un logiciel de calcul formel.
2. En 2011, le plus grand nombre premier6 était :243112609−1. Combien de chires comporte son écriture décimale ?
Pouvez-vous vérier à l'aide d'un logiciel de calcul formel ?7 Exercice 11 En acoustique : intensité d'un son
Si l'intensité sonore d'une guitare électrique est de 62 dB ( décibels ), quelle sera l'intensité sonore de deux guitares électriques ?
Si vous avez répondu 124 dB, alors vous avez franchi le seuil de douleur, vous êtes peut-être devenu sourd... et cet exercice est fait pour vous !
L'intensité I d'un son (en dB) est reliée à sa puissance de réception (en watt par m2) de façon que l'on ait, pour deux sons quelconques 1 et 2 :
I2−I1 = 10 log P2
P1
.
1. À quelle variation d'intensité correspond un doublement de puissance ? 2. Que signie une augmentation de 10 dB en termes de puissance sonore ?
5 L
ES AUTRES FONCTIONS LOGARITHME Pour tout réel astrictement positif et diérent de 1 :On appelle fonction logarithme de base ala fonction notée loga dénie sur
0 ; +∞
par : loga(x) = lnx lna. Dénition 16.
Pour tout nentier relatif :loga(an) =n.En particulier, loga(a) = 1. La fonction lnest la fonction logarithme de base e.
6. Un nombre entier naturel est dit premier lorsqu'il n'admet que deux diviseurs : 1 et lui-même.
7. ! you ewith erb pow the May Wiris! rtque plusfo ousêtes !V Ehoui
