Enoncé E672 (Diophante) Arithmétique footballistique
Dans un tournoi de football qui réunit néquipes, chaque équipe rencontre une fois les autres équipes. Le vainqueur d’un match obtient 3 points, le perdant 0 point et en cas de match nul, chaque équipe obtient 1 point. A l’issue du tournoi, les scores forment une suite d’entiers consécutifs.
Quel est le nombre maximal de points obtenus par le dernier du classe- ment ?
Application numérique : n= 8. La lanterne rouge a obtenu le score maxi- mal.
Q1 Est-il possible qu’une même équipe réalise exclusivement des matchs nuls ?
Q2 Simuler un tableau des résultats de toutes les rencontres dans lequel le leader a perdu ses matchs contre les deux dernières équipes du classement.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Soit r le plus petit score, m le nombre de matches nuls sur les Cn2 = n(n−1)/2 matches.
Comme un match nul attribue au total 2 points au lieu de 3, le total des scores est 3n(n−1)/2−m = n(r+ (n−1)/2), les scores allant de r à r+n−1, soit en moyenne r+ (n−1)/2.
On en tire r = n−1−m/n. Ainsi le nombre de matches nuls est m = n(n−1−r), multiple den.
De plus, un score s non multiple de 3 ne peut être obtenu qu’avec des matches nuls, en nombre sà multiple de 3 près.
Soit S(k) la somme des restes modulo 3 (∈ {0,1,2}) des entiers de 1 àk; le nombre 2m des points attribués en match nul est, à un multiple de 3 près en plus, S(r+n−1)−S(r−1). On voit queS(k) =k sik ouk−1 est multiple de 3, S(k) =k+ 1 si k+ 1 est multiple de 3.
On a donc pour r la condition
S(r+n−1)−S(r−1) = 2n(n−1−r)−3t avec t≥0 entier.
Le premier membre vautnà 1 près :n+ 1 si 3 diviser+nsans diviserr, n−1 si 3 divise r sans diviserr+n, nsi 3 ne divise pas r(r+n) et si 3 divisen.
Il y a des valeurs de n pour lesquelles ces conditions sont incompatibles, par exemplen= 3.
Cas n= 8.
Il y a 28 matches. Si m = 8, r = 6, S(13)−S(5) = 7, ce qui convient avec t= 3 pour distribuer 16 points. Si m= 16, r = 5, S(12)−S(4) = 8, ce qui convient avec t = 8 pour distribuer 32 points. Si m = 24, r = 3, S(11)−S(3) = 9, ce qui convient avec t= 13 pour distribuer 48 points.
Ce critère n’est donc pas discriminant.
J’en retiendrai néanmoins la solution r = 6 comme score maximal du dernier.
Question 1
Si une équipe a fait match nul avec toutes les autres, son score est 7 points ; neutralisons ces 7 matches. Les scores dus aux 21 autres matches sont 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12. Les points des matches nuls sont 8 à multiple de 3 près, soit 4 matches à multiple de 3 près. Pour l’ensemble des 8 équipes, on a 11 matches nuls à multiple de 3 près, en même temps qu’un nombre m multiple de 8 ; cela donne m = 32, mais il n’y a que 28 matches en tout, contradiction.
Donc réponse négative à cette question 1.
Question 2
La complexité combinatoire m’a rebuté. Il y a 5 façons pour le premier d’obtenir ses 13 points, 26 façons pour le derneir d’obtenir ses 6 points.
Sous un autre angle, il y a 35 façons de répartir entre les 8 équipes les 16 points de match nul, d’où 35 façons de répartir les 60 points de match gagné.
