TD3 : Algébre linéaire (sup)

Lycée Chrestien de Troyes PC mathématiques Page 1

TD 3 Révisions : algèbre linéaire PC

N°1

Parmi les ensembles suivants, lesquels sont des espaces vectoriels ?

1. Ensembles des fonctions polynômiales, à coefficients réels et de degré exactement égal à 2.

2. Ensemble des applications de  dans  bornées.

3. Ensemble des applications de  dans  nulles en 0.

4.

 

^{x ,x ,x1 2 3}



^{ 3 / x11}



5.

 

^{x ,x ,x1 2 3}



^{ 3 / x10}



6. Ensemble des applications de  dans  positives ou nulles

7.

 

^{x ,...,x1 n}



^{ n/ x x1 2 0}



8.



1 n



^{n n} i

i 1

x ,...,x / x 0



 

   

 

 







9. Ensemble des applications de  dans  continues dont l’intégrale de 0 à 1 est nulle.

10.

 

^{x ,...,x1 n}



^{ n / x12x22 0}



11.

 

^{x ,...,x1 n}



^{ n / x12 x22}



N°2

^ l’espace vectoriel des applications définies de  dans .

1. On considère les trois applications définies par :

xℝ , u₁(x) = sin(x 1) ; u₂(x) = sin(x) ; u₃(x) = sin(x+1) Montrer que la famille (u₁,u₂,u₃) est liée

2. nℕ ^*, n > 2. Pour tout i〚1, n〛, fi(x) = sin(x+i)

Montrer que la famille (sin , cos) est libre 3. En déduire que la famille

 

fi _1inest liée.

N°3 On considère les deux ensembles suivants A={(x,x), x   } et B={(x,y)  ² tel que x + y =0}

1. Montrer que A et B sont deux sous-espaces vectoriels de² 2. Puis que A et B sont supplémentaires dans ²

N°4 : Parmi les applications suivantes, lesquelles sont sont des endomorphismes de l’espace vectoriel E.

1. E = ², u : (a,b) (a+1, b-a) 2. E = ², u : (a , b) (a+b, ba) 3. E = ², u : (a , b) (a+b, ba²) 4. E = ( , ) , u : f  f o f 5. E = ( , ) , u : f  3f

6. E = ₂(  ), u : A  det (A) (le déterminant de A)

N°5 : Soit u une application de  .

Montrer que u est linéaire si, et seulement si, il existe un réel a tel que :  x, u(x) = ax

N°6

On considère le -espace vectoriel  ⁴ . Soient u=(1,0,1,0), v=(0,1,1,0), w=(1,1,1,1), x=(0,0,1,0), y=(1,1,0,1)

On considère les sous espaces vectoriels : A= Vect(u,v,w) et B=Vect(x,y)

1. Montrer que yx A

2. Quelles sont les dimensions de A, B, A +B et A  B ? 3. Donner une base de A  B

N°7

Soit E = { f  C^(,) tel que f soit -périodique }

On définit l’application : : '

D E E

f f



1. Vérifier que D est endomorphisme de E 2. Déterminer le noyau et l’image de D

3. Montrer que Im D et Ker D sont supplémentaires dans E

N°8

Soit E un -espace vectoriel de dimension 3 et =(e1 , e₂ , e₃ ) une base de E.

On considère l’endomorphisme f de E défini par :

f (e₁) = 2e₂ 2e₃ ; f(e₂) = 2e₁ +2e₃ ; f(e₃) = e₁ + e₂ +e₃ 1. Soit u =xe₁ + ye₂ +ze₃ un vecteur de E. Exprimer f (u) dans la base 

2. Déterminer une base de Ker (f + 3Id_E) et une base de Ker (f

 2Id_E)

3. Montrer que E= Ker (f + 3Id_E)  Ker (f  2Id_E) 4. Montrer que f ² + f  6 IdE = 0

N°9

Soit E un espace vectoriel de dimension n et u un endomorphisme de E.

Montrer que Ker u = Im u si et seulement si u²=0 et n = 2 rg u