Universit´e Sidi Mohamed Ben Abdellah Ann´ee universitaire 2019-2020 Facult´e des Sciences Dhar El Mahraz
D´epartement de Math´ematiques
SMP-SMC/S2 Alg`ebre 2 S´erie de TD n◦1
Exercice 1 Les ensembles suivants, munis de leurs additions et multiplications par des scalaires de R canoniques, sont-ils des R-espaces vectoriels?
(1.1) L’ensemble des applications r´eelles continues sur R.
(1.2) L’ensemble des applications r´eelles f sur R qui poss`edent une d´eriv´ee seconde (en tous les points) et qui v´erifient f ” + 2f = 0.
(1.3) L’ensemble des applications r´eelles, continues, positive ou nulles sur [−1, 1]. (1.4) L’ensemble {(x, y, z) ∈ R3| 2x + 3y = 0}.
(1.5) Rn[X], c’est `a dire l’ensemble des polynˆomes de R[X] de degr´e inf´erieur ou ´egal `a n, o`u n est un entier naturel fix´e.
Exercice 2 Parmi les ensembles F suivants, reconnaˆıtre ceux qui sont des sous-espaces vecto-riels des R-espaces vectovecto-riels E donn´es (o`u chaque E est muni de l’addition et de la multiplication externe canoniques).
(2.1) F = {(x, y, z) ∈ R3| 2x + 3y = 0}, E = R3. (2.2) F = {(x, y, z) ∈ R3| z = 1}, E = R3. (2.3) F = {(x, y, z) ∈ R3| x − y = 1}, E = R3.
(2.4) F l’ensemble des applications r´eelles croissantes sur R, E l’ensembles des applications r´eelles sur R.
(2.5) F l’ensemble des applications r´eelles paires sur R, E l’ensembles des applications r´eelles sur R.
(2.6) F = {P ∈ R[X] | deg(P ) ≤ n}, o`u n est un entier naturel fix´e, E = R[X]. (2.7) F = {P ∈ R[X] | (X − 1)2(X − 2) divise P }, E = R[X].
(2.8) F = {P ∈ R[X] | P divise (X − 1)2(X − 2)}, E = R[X].
(2.9) F = {P ∈ R[X] | deg(P ) ≥ n}, o`u n est un entier naturel fix´e, E = R[X]. Exercice 3 Soient F = {(x, x, 0) ∈ R3} et G = {(0, y, z) ∈ R3}.
(3.1) Montrer que F et G sont deux sous-espaces vectoriels de R3. (3.2) Montrer qu’on a R3 = F ⊕ G.
Exercice 4 Soient F(R, R) le R-espace vectoriel form´e par les applications r´eelles sur R, V le sous-espace vectoriel de F(R, R) form´e par les applications r´eelles paires et W le sous-espace vectoriel de F(R, R) form´e par les applications r´eelles impaires.
2
Montrer que F(R, R) = V ⊕ W .
Exercice 5 Soient F = {(x, y, x, t, t) ∈ R5} et G = {(x, x, y, y, y) ∈ R5}. (5.1) Montrer que F et G sont deux sous-espaces vectoriels de R5.
(5.2) Est-ce que F + G est une somme directe de F et de G.
Exercice 6 Consid´erons les ´el´ements suivants dans R3: u
1 = (1, 1, 1), u2 = (2, 2, 4), u3 = (1, 3, −2) et u4 = (0, −2, 4).
(6.1) Soient F = Vect(u1, u2) et G = Vect(u3, u4). Trouver une base de F ∩ G. (6.2) Compl´eter (u3, u4) en une base de R3.
(6.3) Est-ce qu’il est possible de compl´eter (u1, u2) en une base de R3?
Exercice 7 Les familles suivantes sont-elles libres? (7.1) (u1 = (1, 1, 0), u2 = (4, 1, 4), u3 = (2, −1, 4)) dans R3.
(7.2) (u1 = (1, 1, 1, 1), u2 = (0, 1, 1, 1), u3 = (0, 0, 1, 1), u4 = (0, 0, 0, 1) dans R4.
(7.3) (u1 = (1, 1, ..., 1), u2 = (0, 1, 1, ..., 1), u3 = (0, 0, 1, ..., 1), ..., un = (0, 0, 0, ..., 0, 1)) dans Rn, o`u n ≥ 2 est un entier naturel.
Exercice 8 Donner une base du sous-espace vectoriel F = {(x, y, z, t) ∈ R4| x + y + z + t = 0} de R4.
Exercice 9 Soient E un R-espace vectoriel et (u1, ..., un) une famille libre d’´el´ements de E. Les familles suivantes sont-elles libres?
(9.1) (u1, u3). (9.2) (u1, 2u2, u3). (9.3) (u1, u1+ 2, u4).
(9.4) (3u1+ u3, u3, u2+ u3).
Exercice 10 Dans R2 consid´erons les vecteurs u = (2, 3) et v = (3, 2). (10.1) Montrer que (u, v) est une base de R2 (sur R).
(10.2) Soit a = (1, 2). Trouver les coordonn´es de a dans la base (u, v).
Exercice 11 Soit R1[X] le R-espace vectoriel des polynˆomes de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 1 et consid´erons les vecteurs P = 2X + 3 et Q = 3X + 2 dans R1[X].
(11.1) Montrer que (P, Q) est une base de R1[X].
(11.2) Soit S = X + 2. Trouver les coordonn´es de S dans la base (P, Q).
Exercice 12 On consid`ere dans R3 le sous-espace vectoriel F = {(x, y, z) ∈ R3|, x+2y −3z = 0}.
3
(12.1) Donner une base B de F et d´eterminer dimRF . (12.2) Compl´eter B en une base de R3.
Exercice 13 On consid`ere dans R4 le sous-espace vectoriel F = {(x, y, z, t) ∈ R4|, x + y + z + t = 0}.
(13.1) Donner une base de F .
(13.2) Soient w = (1, 1, 1, 1) et G = Vect(w). Montrer que F ∩ G = {0R4}.
(13.3) Peut-on d´eduire que F et G sont suppl´ementaires dans R4?
Exercice 14 Soit F le sous-espace vectoriel de R4 engendr´e par les vecteurs suivants: u = (1, −1, 2, −2), v = (4, 0, 1, −5) et w = (3, 1, −1, −3). Soit G = {(x, y, z, t) ∈ R4| x + y = 0, x − y − z + 2t = 0}.
(14.1) D´eterminer la dimension de F .
(14.2) Montrer que G est un sous-espace vectoriel de R4 et d´eterminer sa dimension. (14.3) A-t-on F ⊕ G = R4?
(14.4) V´erifier que v /∈ G et donner un suppl´ementaire de G dans R4.
Exercice 15 Soit F = {P ∈ R3[X] | P (1) = 0}. D´eterminer dimRF . Exercice 16 D´eterminer les rangs des syst`emes suivants de vecteurs: (16.1) (u1 = (2, 3), u2 = (1, 1)).
(16.2) (u1 = (5, 3, 5), u2 = (−1, 2, −3), u3 = (4, −3, 8)) . (16.3) (u1 = (1, 1, 1, 1), u2 = (1, 2, 0, 0), u3 = (2, 2, 1, 5)).
(16.4) (u1 = (1, −1, 1, 3), u2 = (1, 2, 1, 3), u3 = (2, 1, 1, 0), u4 = (1, 1, 1, 2)).
(16.5) (u1 = (1, 0, 0, 0, 0), u2 = (0, 5, 0, 0, 0), u3 = (0, 0, 2, 0, 0), u4 = (0, 0, 0, 3, 0), u5 = (0, 0, 0, 0, −1)).
Exercice 17 (facultatif ) Trouver des sous-espaces vectoriels F et G du R-espace vectoriel R4 qui verifient:
(17.1) F + G = R4 et F ∩ G = {0}. (17.2) F + G = R4 et F ∩ G 6= {0}. (17.3) F + G 6= R4 et F ∩ G 6= {0}.
Exercice 18 (facultatif ) Soient F = {(x, y, z) ∈ R3| x + y + z = 0} et G = {(t, t, t) ∈ R3}. (18.1) Montrer que F et G sont deux sous-espaces vectoriels de R3.
(18.2) Trouver deux vecteurs u et v de R3 tels que F = Vect(u, v). (18.3) Calculer F ∩ G et voir est-ce qu’on a F + G = R3.
(18.4) Conclure.
Exercice 19 (facultatif ) Soient E un K-espace vectoriel, o`u K = R, ou C, et x, y, z ∈ E tels que x 6= 0, y /∈ Vect(x) et z /∈ Vect(x, y).
