EPFL 8 octobre 2007 Algèbre linéaire
1ère année 2007-2008
Série 3
L'exercice 2 est à rendre le 15 octobre au début de la séance d'exercices.
Dans cette série, le symbole F désigne soit R, soit C.
Exercice 1. Soit V = P(F) le F-espace vectoriel des polynômes à coecients dans F. Déter- miner lesquels des sous-ensembles suivants sont des sous-espaces vectoriels :
1. U1 ={p(t)∈V|p(4) = 0}
2. U2 ={p(t)∈V|le terme constant de pest 1} 3. U3 ={p(t)∈V|le terme constant de pest nul} 4. U4 ={p(t)∈V|le coecient de t2 dans p(t)est nul}
Exercice 2. Soit V =F(F,F) l'espace vectoriel des applications de F dans F. Considérons les sous-ensembles suivants de V :
U1 ={f ∈V|f(x) = f(−x) ∀x∈F}, U2 ={f ∈V|f(x) = −f(−x) ∀x∈F}.
1. Montrer que U1 etU2 sont des sous-espaces vectoriels deV. 2. Quelle est la somme U1+U2 deU1 etU2?
3. Est-ce qu'il s'agit d'une somme directe ?
Exercice 3. Soient X un ensemble etV un F-espace vectoriel.
1. Soit U un sous-espace deV. Montrer que F(X, U)est un sous-espace de F(X, V). 2. Soient U, W des sous-espaces deV. Montrer que F(X, U +W) = F(X, U) +F(X, W). 3. Quand est-ce que cette somme est directe ?
Exercice 4.
1. On considère les F-espaces vectoriels V et les sous-ensembles U1, U2 dénis ci-dessous.
Montrer que U1 et U2 sont des sous-espaces vectoriels de V et déterminer si U1 ∩U2 et U1∪U2 sont des sous-espaces vectoriels deV.
V =F3, U1 ={(x, y, z)∈F3|x+ 2y = 3z}, U2 ={α(1,0,1) +β(2,1,0)|α, β ∈F}. V =P(F),U1 ={p∈V|p est de degré≤3},
U2 ={p∈V|la somme des coecients de pest 0}.
2. Proposer et prouver une conjecture sur l'intersection et sur l'union de deux sous-espaces vectoriels.
