Stanislas
Calcul formel
TP n°2 - Suites & Fonctions
MPSI 1
Les commandes de ce T.P.
• -> • piecewise
• @, @@ • D
• plot • seq
• taylor • convert(...,polynom)
• irem
Exercice 1. (D,plot)
1. Dénir la fonction f : R? → R, x 7→ xsinx1. Tracer sur un même graphique la courbe représentative def ainsi que les droites d'équation y=x ety=−x.
2. À l'aide de Maple, calculer la dérivée de la fonctionf puis tracer sa courbe représentative.
3. Que penser de la régularité de ces fonctions ?
4. Reprendre les questions précédentes avec la fonctiong : x7→x2sin1x.
Exercice 2. (taylor,convert)
1. À l'aide de la commande taylor, déterminer le développement limité à l'ordre 9 en 0 de la fonction sin. Extraire la partie régulière de ce développement limité à l'aide de la commande convert.
2. Construire une séquence contenant les parties régulières des développements limités à l'ordre 1,3,5,7,9en 0de la fonction sin.
3.Tracer sur un même graphique les représentations graphiques de la fonctionsinainsi que celles des parties régulières des développements limités précédents.
4. On dénit la suiteu paru0 = 1 et pour tout n∈N, un+1 = sin(un).
a)Écrire une fonction g qui étant donné un entier natureln renvoieun.
b)Créer une liste contenant les couples (n, un) pourn∈J0,100K. Représenter graphiquement cette liste. Conjecturer la convergence de la suiteu puis démontrer le résultat.
c)Représenter graphiquement la suite(un+1−un)n∈
J0,300K. Déterminer un équivalent à l'inni de cette suite. En déduire que lim
n→+∞
un+1−un
un = 0.
d)Représenter graphiquement la suite(u21 n+1
−u12
n)n∈J0,300K. Déterminer un équivalent de cette suite.
e)En utilisant le lemme de Cesaro, montrer que un∼q
3 n. f)Illustrer ce résultat.
Exercice 3. (Suite de Syracuse)À l'aide de la fonction piecewise, dénir une fonction syracuse qui à tout entier naturelnassocie le terme un de la suite dénie paru0= 15etun+1= u2n siun
est pair et 3·un+ 1sinon (on pourra également utiliser la fonction irem).
