TD n°2 : Fonctions homographiquesI]

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TD n°2 : Fonctions homographiques I]

Fonctions homographique n°1

On se propose d'étudier la fonction f définie par f x=^x−1_x−2 . a) Quel est la valeur de x interdite ?

Quel est l'ensemble de définition de f ? (sous la forme d'une réunion d'intervalles) b) Écrire f(x) sous la forme canonique des fonctions homographiques f (x)=α+_x−γ^β .

(Montrer que α=1;β=1 et γ=2 )

c) Déterminer le taux d'accroissement de f entre ^x1 et ^x2.

(Montrer que  =x1−2x⁻¹2−2)

d) Déduire de ce rapport le sens de variation de f sur chacun des intervalles composant ^Df. e) Dresser le tableau de variation de f qui résume cela :

x f x

f) Déduire de ce rapport vers quelle valeur s'approche f x quand x devient infiniment grand (ou petit) ?

Ajouter cette valeur dans le tableau.

g) Chercher les coordonnées des points d'intersection de la courbe de f avec les axes.

Avec l'axe des ordonnées : f (0)=... . Avec l'axe des abscisses : pour f (x)=0,x=...

h) Tracer la courbe représentant f.

II]

La fonction g est définie par gx=³_x−2^x−1 .

a) Quel est l'ensemble de définition de g ? ^Dg=...

b) Écrire g(x) sous la forme canonique.

c) Déterminer le taux d'accroissement de g entre x₁ et x₂.

d) Déduire de ce rapport le sens de variation de g sur chacun des intervalles composant ^Dg. e)Déduire de ce rapport vers quelle valeur s'approche

gx quand x devient infiniment grand (ou petit) ? f) Dresser le tableau de variation de g :

x gx

g) Chercher les coordonnées des points d'intersection de la courbe de g avec les axes.

Avec l'axe des ordonnées : g0=...

Avec l'axe des abscisses : gx=0 pour x=...

h) Tracer la courbe représentant g.

III]

:

Refaire le travail pour la fonction h définie par hx=₂_x−3¹ .

IV] Problème

Soient x et y la largeur et la longueur d'un rectangle (en m).

Exprimer le périmètre P et l'aire A du rectangle en fonction de x et y. On s'intéresse aux rectangles tels que A en m² égale P en m.

Déterminer la fonction F qui donne y à partir de x pour de tels

rectangles. La figure montre une solution carrée (à droite) mais combien existe-t-il de tels rectangles dont les côtés sont des nombres entiers de m ? Faire un graphique (tracer la courbe de la fonction F) pour trouver/montrer les différentes solutions (points de la courbe à coordonnées entières).