Chapitre 12

Chapitre 12

Analyse asymptotique

I - Relations de comparaison

Dans toute la suite,I désigne un intervalle de Reta∈I. Les fonctions f etg sont dénies sur un voisinage de a.

Définition 1 (o, ∼, O).

(i). f est négligeable devant g au voisinage de a, noté f =oa(g), s'il existe un voisinageV de aet une fonctionεtelle que lim

a ε= 0et

f(x) =ε(x)g(x),∀ x∈V ∩I.

(ii). f etg sont équivalentes au voisinage de a, notéf ∼_ag, s'il existe un voisinage V de a et une fonction η telle quelim

a η= 1 et

f(x) =η(x)g(x),∀x∈V ∩I.

(iii). f est dominée par g au voisinage dea, notéf =Oa(g), s'il existe un voisinage V de a et une fonction ubornée au voisinage de atelle que

f(x) =u(x)g(x),∀ x∈V ∩I.

Exercice 1.

1. Déterminer un équivalent des fonctions polynomiales en+∞ puis en0. 2. Déterminer un équivalent de la fonctionsinhen +∞.

Propriété 1.

On suppose que g ne s'annule pas sur un voisinage deasauf éventuellement en a. (i). f =oa(g) si et seulement si ^f_g tend vers 0en a.

(ii). f ∼_ag si et seulement si ^f_g tend vers1 en a.

(iii). f =O_a(g) si et seulement si ^f_g est bornée sur un voisinage deacontenu dans I. Propriété 2.

(i). ∼_a est une relation d'équivalence.

(ii). Si f =o(g), alors f =O(g). Sif ∼g, alors f =O(g).

f ∼gsi et seulement si f−g=o(g).

(iii). Si f₁ =O(g)etf₂ =O(g), alors f₁+f₂ =O(g). Sif₁ =o(g)etf₂ =o(g), alors f₁+f₂ =o(g). (iv). Si f₁ =o(g₁) etf₂ =o(g₂), alors f₁f₂ =o(g₁g₂).

Sif1 =O(g1) etf2 =O(g2), alors f1f2 =O(g1g2).

Sif₁ ∼g₁ etf₂ ∼g₂, alors f₁f₂ ∼g₁g₂.

(v). Si f1 ∼g1,f2∼g2 etg1, g2 ne s'annulent pas au voisinage de a, alors ^f_f¹₂ ∼_a ^g_g¹

2. (vi). Si f =O(g) etg=O(h), alors f =O(h).

Sif =o(g) etg=o(h), alors f =o(h).

Propriété 3.

On suppose que f ∼_ag.

(i). Si g est strictement positive (resp. strictement négative) au voisinage de a, alors f est strictement positive (resp. strictement négative) au voisinage dea.

(ii). Si g ne s'annule pas sur I\{a}, alors f_|I\{a} ne s'annule pas sur un voisinage de a. Théorème 1 (Logarithmes, Puissances & Exponentielles).

(i). Au voisinage de +∞ : (a) Siα, β, γ >0,

(lnx)^γ=o(x^β), x^β =o(e^αx).

(b) Siα, β, γ <0,

x^β =o((lnx)^γ), e^αx=o(x^β).

(ii). Au voisinage de 0 : siβ <0, γ >0,

|lnx|^γ=o(x^β).

Théorème 2 (Équivalent et dérivation).

Sif est une fonction dérivable en aetf⁰(a)6= 0, alorsf(x)−f(a)∼_af⁰(a)·(x−a). Corollaire 3 (Équivalents classiques).

(i). Fonctions trigonométriques.sinx∼₀x, 1−cosx∼₀ ^x₂²,tanx∼₀x.

(ii). Fonctions logarithmes, puissances et exponentielles. Soitα∈R.ln(1 +x)∼₀x, e^x−1∼₀ x,(1 +x)^α−1∼₀αx.

(iii). Trigonométrie hyperbolique. sinhx∼₀x, sinhx∼_+∞ ^e₂^x, . . . Théorème 4 (Théorème de substitution des équivalents).

Sif(x)∼_ag(x) et lim

x→bu(x) =a, alors f(u(x))∼_b g(u(x)). Exercice 2.

1. Déterminer un équivalent simple det7→ln(cost) en 0. 2. Déterminer un équivalent simple det7→t+√

t en+∞. Que dire de t7→e^t ett7→e^t+

√ t. II - Développements limités

II.1 - Dénition & Opérations

Définition 2 (Développement limité, Partie régulière, Reste).

(i). Soient a ∈ I et f dénie sur I\{a}, n ∈ N. La fonction f admet un développement limité d'ordre nen as'il existe des réelsa0, . . . , an etε : I →Ktelle quelim

0 ε= 0 et f(x) =a₀+a₁(x−a) +· · ·+a_n(x−a)ⁿ+ (x−a)ⁿε(x−a),∀x∈I\{a}.

(ii). x7→a0+a1(x−a) +· · ·+an(x−a)ⁿest appelée la partie régulière du développement limité etx7→(x−a)ⁿε(x−a) le reste.

Exercice 3. Montrer que, pour tout entier naturel n, les fonctions polynomiales et la fonction x7→ _1−x¹ admettent un développement limité à l'ordrenen 0.

Définition 3 (Développement asymptotique).

SoientIun voisinage de l'inni,f dénie surI etn∈N. La fonctionf admet un développement asymptotique d'ordrenen l'inni s'il existe des réelsa₀, . . . , a_netε : I →Ktelle quelim

0 ε= 0 et

f(x) =a₀+ a₁

x +· · ·+a_n xⁿ + 1

xⁿε 1

x

,∀ x∈I.

Propriété 4.

Soit f(x) =

n

P

k=0

a_k(x−a)^k +o((x−a)ⁿ) une fonction admettant un développement limité d'ordren en a. On suppose qu'il existe un plus petit entier naturel m tel quea_m 6= 0. Alors, f(x)∼_aa_m(x−a)^m.

Exercice 4.Discuter, en fonction du signe deam et de la parité dem, de la valeur et du signe de f au voisinage dea.

Propriété 5.

(i). La partie régulière du développement limité est unique.

(ii). f admet un développement limité d'ordrenenasi et seulement six7→f(x+a)admet un développement limité d'ordre nen 0.

(iii). Sif admet un développement limité d'ordrenen a, alors pour toutk6n,f admet un développement limité d'ordrek ena.

(iv). f admet un développement limité d'ordre0en asi et seulement silim

a f existe dansK.

(v). f admet un développement limité d'ordre1en asi et seulement sif (ou son prolonge- ment par continuité) est dérivable en a.

Exercice 5.

1. Que dire du développement limité d'une fonction paire ? impaire ? 2.Soit f une fonction admettant un développement limitéf(x) =

m

P

k=0

a_k(x−a)^k+o((x−a)^m), où m = min{i> 2 ; ai 6= 0}. Déterminer, en fonction de m et du signe de am, la position de f par rapport à sa tangente. En déduire une caractérisation des extrema pour les fonctions de classeC² de dérivée seconde non nulle.

3. Déterminer un développement limité decosà l'ordre2 enπ.

4. Soit f : R→R dénie par f(x) = x+x³sin_x¹ si x 6= 0 etf(0) = 0. Montrer que f admet un développement limité à l'ordre 2en 0 alors quef n'est pas deux fois dérivable en 0.

Propriété 6 (D.L. & Opérations).

Soit f (resp. g) une fonction admettant un développement limité d'ordre n en a de partie régulièreP (resp. Q).

(i). f+g admet un développement limité d'ordrenen ade partie régulière P+Q. (ii). λf admet un développement limité d'ordren enade partie régulière λP.

(iii). f gadmet un développement limité d'ordrenenade partie régulièreR, oùRest obtenu à partir du produitP Q en conservant les termes de degré inférieur àn.

. Si , alors admet un développement limité d'ordre en .

(v). Si lim

b g=a etg admet un développement limité d'ordre nen b, alors f ◦g admet un développement limité d'ordren enb.

Exercice 6.Déterminer le développement limité à l'ordre3 en0 de la fonction. . . 1. f₁(x) = _1−x¹ −e^x. 2.f₂(x) = ^√cosx

1+x. 3. f₃(x) = _1+e¹x. 4. f₄(x) =e^sinx. Déterminer les limites

5. lim

x→0 1

sin²(x) −_x¹₂. 6. lim

x→1

cos(ln(x))−1 (x−1)² . II.2 - Formule de Taylor-Young

Théorème 5 (Inégalité de Taylor-Lagrange).

Soit f ∈Cⁿ⁺¹(I)telle que f⁽ⁿ⁺¹⁾ soit bornée surI eta∈I. Alors, pour toutx∈I,

f(x)−

n

X

k=0

(x−a)^k k! f^(k)(a)

6 |x−a|ⁿ⁺¹ (n+ 1)! sup

I

f⁽ⁿ⁺¹⁾

.

Exercice 7.Soitx∈R. Montrer que la suite _n

P

k=0 x^k

k!

n∈N

converge verse^x.

Théorème 6 (Formule de Taylor-Young).

Soientf ∈Cⁿ(I) eta∈I. Pour tout réel x∈I,f(x) =

n

P

k=0 (x−a)^k

k! f^(k)(a) +o((x−a)ⁿ).

Exercice 8.Déterminer le développement limité de la fonction exponentielle.

Théorème 7 (D.L. & Primitive).

Soientf ∈C(]−a, a[)admettant un développement limité à l'ordrenen0etF une primitive def. AlorsF admet un développement limité à l'ordren+ 1en0et sif(x) =

n

P

k=0

a_kx^k+o(xⁿ), alorsF(x) =F(0) +

n

P

k=0 ak

k+1x^k+1+o(xⁿ⁺¹). Exercice 9.

1. Déterminer l'expression du développement limité de la fonction logarithme neperien.

2. Déterminer le développement limité en0 de la fonction arctan. Théorème 8 (D.L. & Dérivation).

Soit f ∈ C¹(]−a, a[). On suppose que f admet un développement limité à l'ordre n en 0 et que f⁰ admet un développement limité à l'ordre n−1 en 0. Alors, la partie régulière du développement limité def⁰est égale à la dérivée de la partie régulière du développement limité de f.

Exercice 10.Soitf : R→R dénie par f(x) =x+x³sin_x¹ si x6= 0 etf(0) = 0. Montrer que f admet un développement limité à l'ordre 2 en 0 alors que f⁰ n'admet pas de développement limité à l'ordre1 en0.

Corollaire 9 (Développements limités classiques en0). Soientα∈Retn∈N.

e^x= 1 + x 1!+x²

2! +· · ·+xⁿ

n! +o(xⁿ) cosx= 1− x²

2! + x⁴

4! +· · ·+ (−1)^p x^2p

(2p)! +o(x^2p+1) sinx=x−x³

3! +x⁵

5! +· · ·+ (−1)^p x^2p+1

(2p+ 1)! +o(x^2p+2) tanx=x+x³

3 +2x⁵

15 +17x⁷

315 +o(x⁸) coshx= 1 + x²

2! + x⁴

4! +· · ·+ x^2p

(2p)!+o(x^2p+1) sinhx=x+x³

3! +x⁵

5! +· · ·+ x^2p+1

(2p+ 1)! +o(x^2p+2) (1 +x)^α= 1 +αx+α(α−1)

2! x²+· · ·+ α(α−1)· · ·(α−n+ 1)

n! xⁿ+o(xⁿ) 1

1−x = 1 +x+x²+· · ·+xⁿ+o(xⁿ) 1

1 +x = 1−x+x²+· · ·+ (−1)ⁿxⁿ+o(xⁿ) ln(1 +x) =x−x²

2 +x³

3 +· · ·+ (−1)ⁿ⁻¹xⁿ

n +o(xⁿ)