Chapitre 23 Quelques compléments sur les groupes

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Mathématiques – fiche : Chap 23 : Quelques compléments sur les groupes

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Chap 23 : Quelques compléments sur les groupes

( , )G ⋅ désignera un groupe

I. Groupes monogènes, cyclique, ordre d’un élément



| |

1 1

... 0

0

0 ( , ) ( , )

( , ) ( , )

...

Im( ) { , } :

fois

si si

si

est un morphisme de groupe de dans

est un sous groupe engendré par on l

n

a n

n

n a

a a n

e n

n G

a G G

n a

a a

a n a

θ

− −

⋅ ⋅ >

=

<

+ → ⋅

 

 

∈   + ⋅

 = 

 

  ⋅ ⋅



= ∈



 



 e note { , }

On dit que est monogène s'il existe tel que surjectif

n

a

a a n

G a G G a θ

< >= ∈

∈ =< >⇔



ker( ) : ker

* 0

*

est un sous groupe de avec Si injectif,

Sinon, *

a a

a

θ θ α α

θ α

α

= ∈

=

∈

  



( ) * ker

ord( ) min{ *, }

Si n'est pas injectif, on dit que est d'ordre fini. On définit a tel que a k

a ord a

a k a e

θ = ∈α θ =α

= ∈ =

 



( , )

d'ordre a est un isomorphisme de groupes de dans

k

a G

a G n n a

k a n

θ ^ →< >⊂

∈  + < >



  

 

 

, { , 0, 1 ) ( )

Si est d'ordre a n < >=a a k^k ∈ n− et card a =n card

( , )

Un groupe cyclique est un groupe monogène et fini : est l'ordre du groupe Tout sous-groupe cyclique de cardinal est isomorphe à

G G

n n +



ord( ) | ord( ) ,ord( )

Pour tout , Si ^k n

x G x G x a x

k n

∈ = =

∧

II. Résultats plus généraux sur les groupes finis

(Plus on avancera dans cette partie, plus on s’éloignera du programme) ( , ) groupe fini de cardinal G ⋅ n

card | card Pour tout sous groupe de , H G H G

Preuve : R: (x yR )⇔ ∈x yH est une relation d'équivalence card | card

Les classes d'équivalences pour ont toutes le cardinal de Elles sont en union disjointe dans :

H

G H G

R

(2)

2

Théorème de Lagrange : a∈G avec fini de cardinal G n aⁿ =e

' : card card(ker ) card(Im ) Soit morphisme de groupes de dans ϕ G G G= ϕ × ϕ

Preuve : 0 0

0

ker On pose G { , } {classes d'équivalences de pour }

H x x G H

ϕ H

= = ∈ = R

1 1 1

0 0

1 2 1 2

0 0

: ker , ( ) ( ) ( ) ( ) ker

' ', ' ' ' ' ( ' ' ' ' ' )

: : ( , )

On montre

On en déduit que si et alors et Car

On définit une lci sur e

a H H a x a x a a x a e a x a

x x y y xy x y xy x y xy x h y h x y h h

G x y x y G

H H

ϕ ϕ ⁻ ϕ ϕ ϕ ⁻ ⁻ ϕ

⋅ = ⋅ ∈ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ ⋅ ∈

= = =

⋅ ⋅ = ⋅

R R R



0

0 0

: ' , ( ) ( )

Im card card(Im ) card( ) card( ) card( ) card(ker )

st un groupe On construit un unique tel que pour tout

On vérifie qu'il existe et que c'est un isomorphisme de groupes dans

G G x G x x

H

G G H G

H H

ϕ ϕ ϕ

ϕ

ϕ ϕ

→ ∈ =

= = = card(Im )ϕ

Si, pour sous-groupe de , et pour tout H G a∈G a H, ⋅ =H a⋅ , on dit que est distinguéH

III. Retour sur les groupes cycliques (et au programme)

( )* { } { , 1}

Rappel : inversibles de k k n

n = n = ∧ =

 

 

* ( ) card(( ) )* card{ 0, 1 , 1}

Pour tout n , on définit la caractéristique d'Euler : n k n k n

ϕ n

∈ =   = ∈ − ∧ =

( ) 1

Pour tout premier, p ϕ p = −p

( , ) 2 1 ( ) ( ) ( )

Pour tout m n ∈ tels que m∧ =n , ϕ mn =ϕ m ϕ n

Preuve : Lemme chinois : ( ) ( ) si m n 1 isomorphisme

mn m ×∧ n = ⇒

     

card card 1

et deux groupes cycliques est cyclique

G H G H× ssi G∧ H =

Preuve : Mq ord( , )a b =ord( )a ∨∧ord( )b Si m ≠ ⇒ ⇒n 1 pas d'élément d'ordre mn non cyclique

IV. Groupe symétrique

     

* { 1, } { 1, 1, }

( , ) !

permutations de bijective de dans est un groupe de cardinal

n n

n n f n n

n

∈ = =



S S

   

2

1

( , ) 1, , ( )

1, ( ) { ( ), } { , ( ),. . . , ( )}

Pour tout , on dit que s'il existe

est une relation d'équivalence. L'orbite d'un élément est la classe d'équivalence de

k n

k d

x y n x y k x z

x n x

orb x x k x x x

σ σ

σ σ σ ⁻

∈ ∈ ∈ =

∈

= ∈ =

R R



 S

ord( ) avec d = x

Un cycle est une permutation de σ Sn qui a une unique orbite non réduite à un point

1 1 1

( , ( )... ( )) On note σ = x σ x σ^k x

(3)

3

On appelle support du cycle l'orbite unique non réduite à un point de σ

1

,

...

deux cycles à supports disjoints. On a alors

Soit Il existe des cycles à supports 2 à 2 disjoints tels que : cette décomposition est unique à l'ordre près

n

n p n

p

σ τ σ τ τ σ

σ σ σ

∈ =

∈ ∈

=

 

  S

S S

Preuve : Existence : on considère les orbites non réduites à un point⇒2 à 2 disjointes...

1 ...

Unicité : on suppose qu'on en a une autre : On considère leurs orbites

On distingue à chaque fois le cas où l'orbite de n'est pas réduite à un point de celui où elle l'est On montre que les

p

x

σ τ=  τ

cycles des obt pour support les orbitesτj ⇒comme les σj

 

1

1 1 1

( 2)

( , ) ( , ) , 1,

( ... ) ( , ,... )

On appellera un cycle dont le support a éléments

On appellera transposition les 2 cycles : avec et

On dit que inverse et si

p p p

p cycle p p

i j j i j i n j i

a a a a a

i j

τ

σ σ

σ

−

− ≥

− = = ∈ ≠

= ⇔ =

( ) ( ) et

i< j σ i >σ j

1

1 1

( ... ) . ( ( ),..., ( ))

Soit σ = a ap ∈Sn un p cycle− Soit τ∈Sn τ σ τ  ⁻ = τ a τ ap

Les transpositions engendrent Sn: Toute permutation s'écrit comme produit de transpositions (non unique) Preuve : Récurrence sur n : montrer le cas où σ(n+ = +1) n 1, puis s’y ramener avec une transposition dans le cas général

2

0

( , )

0

( ) ( ) ( )

( ) { 1,1} ( ) ( 1) Soit La signature de :

et où est le nombre d'inversions de

n

i j N

i j

i j N

σ σ

σ σ ε σ

ε σ ε σ σ

∈

∈ = −

−

∈ − = −

∏



S

Preuve : { , }i j { ( ), ( )}σ i σ j bijection de P₂(n). Valeur absolues⇒dissociation dividende/diviseur

| ( ) | 1ε σ Le signe change quand dividende et diviseur sont de signes

⇒ = + ≠

est un morphisme de groupes (Preuve : comme la dérivation composée + bijectivité) ε

1

( ) 1

( ) ( 1) ( ) 1

Soit transposition : (Compter les inversions)

Soit p-cycle : ^p (Conséquence de )

τ ε τ

σ ε σ ⁻ ε τ

= −

= − = −

ker est le groupe alterné, sous groupe de

n = ε Sn



( ) !

2 2

3 card( )

Les engendrent (Utiliser les 2-cycles)

n n

n

card n

cycles

= =

−

 S

