d ou d ?
Plaçons-nous par exemple en coordonnées cartésiennes x, y, z.
* Une « forme différentielle » s’écrit :
df = P(x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz où P(x, y, z), Q(x, y, z) et R(x, y, z) sont trois fonctions des variables x, y et z.
On peut l’intégrer sur un chemin allant de A à B : 𝐹 = ∫ 𝛿𝑓'& . Le résultat dépend du chemin suivi.
C’est le cas en général pour le travail :
𝑊 = ∫ 𝛿𝑊'& .
* Une « différentielle (totale exacte) » s’écrit :
𝑑𝑓 =𝜕𝑓
𝜕𝑥𝑑𝑥 +𝜕𝑓
𝜕𝑦𝑑𝑦 +𝜕𝑓
𝜕𝑧𝑑𝑧
où /0/1, /0/2 et /0/3 sont respectivement les trois dérivées partielles de la fonction f(x, y, z) par rapport à x, y et z.
Rappelons que la dérivée partielle de f par rapport à x, /0/1 = 4/0
/15
2,3, se détermine en calculant la dérivée de f(x, y, z) par rapport à x, mais en maintenant y et z constants.
On peut l’intégrer sur un chemin allant de A à B :
∆𝑓 = 8 𝑑𝑓&
'
= [𝑓]'& = 𝑓(𝐵) − 𝑓(𝐴)
Le résultat est indépendant du chemin suivi puisqu’il ne dépend que de l’état initial de f en A et de son état final en B. Et donc Df est nulle sur tout chemin fermé.
C’est le cas en mécanique pour le travail d’une force conservative :
𝑊 = ∫ 𝛿𝑊'& = ∫ −𝑑𝐸'& A = −B𝐸AC'& = 𝐸A(𝐴) − 𝐸A(𝐵).
C’est le cas en thermodynamique pour la variation d’énergie interne :
∆𝑈 = ∫ 𝑑𝑈'& = [𝑈]'& = 𝑈(𝐵) − 𝑈(𝐴) et DU = 0 pour un cycle.
Exemples :
df = yz dx + xz dy + xy dz est une différentielle (totale exacte).
En effet, il existe une fonction f (x, y, z) = xyz telle que /0/1 = 𝑦𝑧, /2/0 = 𝑥𝑧 𝑒𝑡 /0/3= 𝑥𝑦.
df = y dx + xz dy + xy dz est une forme différentielle.
En effet, il n’existe pas de fonction f (x, y, z) telle que /0/1 = 𝑦, /0/2= 𝑥𝑧 𝑒𝑡 /0/3 = 𝑥𝑦.
Conclusion :
Écrire en général DW pour un travail (ou DQ pour un transfert thermique) est une GROSSE ÂNERIE !
