Transfert thermique En311tc

(1)

IPSA | DS de transfert thermique n° 1 du 19 novembre 2016

1/10

I.P.S.A.

63 bis rue de Brandebourg 94200 Ivry Sur Seine

Date de l'Epreuve : 19 novembre 2016

Tél. : 01.56.20.62.60

Classe : AERO-3 : toute la promotion

Devoir Surveillé

Transfert thermique En311tc

Professeurs : Bouguechal / Bertossi / Gomit

Durée :

1h30 1 h 00 3 h 00

Notes de Cours ^Avec⁽¹⁾ Calculatrice NON

programmable

Sans (1) sans (1)

(1) Rayer la mention inutile NOM : Prénom : N° de Table :

ex /4 .5 /5 /5 /5.5 Bonus : / 2

TOTAL

:

/ 20

DEVOIR SURVEILLE DE TRANSFERT THERMIQUE I :

Si au cours de l’épreuve, vous repérez ce qui vous parait être une erreur ou un oubli dans l’énoncé, vous le signalez clairement dans votre copie et vous poursuivez l’examen en proposant une solution

.

Le barème est donné à titre indicatif.

Pour les QCM, chaque question comporte une ou plusieurs réponses.

Lorsque l’étudiant ne répond pas à une question ou si la réponse est fausse, il n’a pas de point de pénalité. La note attribuée sera donc égale à zéro.

Rédigez directement sur la copie.

Inscrivez vos nom, prénom et classe.

Justifiez vos affirmations si nécessaire.

Il sera tenu compte du soin apporté à la rédaction.

NOM :

PRENOM : :

CLASSE :

(2)

2/10

Exercice 1 : Les grandeurs fondamentales et dérivées ( 4.5 points ) Vous devez répondre dans le tableau de la page suivante.

A. La dimension des grandeurs fondamentales sont dans l’ordre :

1.□ L, M, T, I, θ, N, J 2.□ L, T, M, Q, θ, J 3.□ L, M,T, I, θ, J, N 4. □ L, M, T, θ, I, N, J 5. □ M, T, L, I, θ, J 6.□ Aucune réponse

B. La dimension d’une vitesse est :

1.□ L T^-2 2.□ L ^-1 T 3.□ L T ^-1 4.□ L²T-2 5. □ (L T) ^-1 6.□ Aucune réponse

C. La dimension d’une accélération est :

1.□ L T ^-1 2.□ L ^-1 T 3.□ (L T) ^-1 4.□ L²T-2 5. □ L T^-2 6.□ Aucune réponse

D. La dimension d’une force est :

1.□ L M T^-2 2.□ L²MT^-2 3.□ L M T^-1 4.□ L²MT^-15. □ L^-2MT^-2 6.□ Aucune réponse

E. La dimension d’une énergie est :

1.□ L M T^-1 2.□ L²MT^-2 3.□ L M T^-2 4.□ L²MT^-15. □ L^-2MT^-2 6.□ Aucune réponse

F. La dimension d’un angle est :

1.□ 0. 2.□ Le degré 3.□ L 4.□ 1. 5. □ Le radian 6.□ Aucune réponse

G. L’unité dans le système international de la longueur, de la masse et du temps sont respectivement :

1.□ kilomètre, kilogramme, heure 2.□ mètre, kilogramme, seconde 3.□ kilomètre, kilogramme, seconde, 5.□ mètre, gramme, seconde. 6.□ Aucune réponse

H. L’unité dans le système international de l’énergie est :

1.□ Le newton 2.□ Le watt 3.□ la calorie 4.□ le joule 5. □ le kilowattheure.

6.□ Aucune réponse

I. L’unité dans le système international d’un angle plan est :

1.□ Le degré 2.□ Le grade 3.□ le radian 4.□ le stéradian 5. □ pas d’unité.

J. L’unité dans le système international d’une force est le :

1.□ joule 2.□ newton 3.□ watt 4.□ kilowatt 5. □ kilogramme.

K. L’unité dans le système international de la température est le :

1.□ degré 2.□ degré Kelvin 3.□ le degré Celsius 4.□ le degré centigrade 5. □ Kelvin 6.□ Aucune réponse

Brouillon :

(3)

3/10

Cochez la ou les bonne(s) cases.

Exercice 1 1 2 3 4 5 6

A X ^0.50

B X 0.50

C X ^0.50

D X ^0.50

E X 0.50

F X ^0.50

G X ^0.25

H X 0.25

I X 0.25

J X ^0.25

K X ^0.50

ATTENTION : Si aucune case n’est cochée, la note attribuée est égale à Zéro.

Brouillon

(4)

4/10

Exercice 2 : Méthode des mélanges ( 5.0 points )

On considère un calorimètre contenant une masse m1=100 g d’eau à une température θ1= 20°C. On y ajoute une masse m2 = 100 g d’eau à une température θ2 = 50°C.

a) Etablir la formule donnant la température d’équilibre θe si on néglige la capacité thermique du calorimètre.

b) Calculer cette température à l’équilibre.

c) La température obtenue dépend-elle de la nature du liquide ? Expliquez.

d) La température d’équilibre observée est de 32 °C. Déterminer la capacité calorifique du calorimètre et calculer ensuite sa valeur en eau en grammes.

e) Dans ce calorimètre contenant 100 g d’eau à 15 °C, on plonge un échantillon métallique de masse 25g sortant d’une étuve à 95 °C. La température d’équilibre est de 16.7 °C. Calculer la capacité thermique du métal. On établira la formule d’abord et on fera l’application numérique ensuite.

Données : Ceau = 4.185 kJ kg^-1K^-1 Réponse :

Système 1 m1 = 100 g Θi1 = 20 °C Ce=4185 J kg^-1K^-1 θe

Système 2 m2 = 100 g Θi2 = 50 °C Ce =4185 J kg^-1 K^-1

∑ 𝑸_𝒊= 𝟎 ;

a) 𝒎_𝟏𝒄_𝒆(𝜽_𝒇− 𝜽_𝒊𝟏) + 𝒎_𝟐𝒄_𝒆(𝜽_𝒇− 𝜽_𝒊𝟐) = 𝟎

𝜽

_𝒇

=

^𝒎^𝟏^𝒄_𝒎^𝒆^𝜽^𝒊𝟏^+𝒎^𝟐^𝒄^𝒆^𝜽^𝒊𝟐

𝟏𝒄_𝒆+𝒎_𝟐𝒄_𝒆

=

^𝜽^𝒊𝟏^+𝜽_𝟐 ^𝒊𝟐

b) 𝜽

_𝒇

= 𝟑𝟓. 𝟎 °𝐂

c) La température ne dépend pas de la nature du fluide, en effet les capacités calorifiques se simplifient dans l’équation.

d) On a :

∑ 𝑸_𝒊 = 𝟎 ;

𝒎_𝟏𝒄_𝒆(𝜽_𝒇− 𝜽_𝒊𝟏) + 𝒎_𝟐𝒄_𝒆(𝜽_𝒇− 𝜽_𝒊𝟐) + 𝑪_𝒄𝒂𝒍(𝜽_𝒇− 𝜽_𝒊𝟏) = 𝟎

𝑪

_𝒄𝒂𝒍

= − 𝒎

_𝟏

𝒄

_𝒆

(𝜽

_𝒇

− 𝜽

_𝒊𝟏

) + 𝒎

_𝟐

𝒄

_𝒆

(𝜽

_𝒇

− 𝜽

_𝒊𝟐

) 𝜽

_𝒇

− 𝜽

_𝒊𝟏

On obtient :

𝑪_𝒄𝒂𝒍 = − 𝟎. 𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝟒𝟏𝟖𝟓(𝟑𝟐 − 𝟐𝟎) + 𝟎. 𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝟒𝟏𝟖𝟓(𝟑𝟐 − 𝟓𝟎)

𝟑𝟐 − 𝟐𝟎 = 𝟐𝟎𝟗 𝑱 𝑲^−𝟏

Système 1 m1 = 100 g Ce=4185 J kg^-1K^-1 Θi1 = 20 °C

θf = 32 °C Système 2 m2 = 100 g Ce =4185 J kg^-1 K^-1 Θi2 = 50 °C

Calorimètre Ccal = mcal*ccal Θi1 = 20 °C

**0.25*2**

0.50 0.5

0.5

(5)

5/10

Valeur en eau :

𝝁 =

^𝑪^𝒄𝒂𝒍

𝒄

_𝒆

= 𝟐𝟎𝟗

𝟒𝟏𝟖𝟓 = 𝟓𝟎 𝒈

e) on peut écrire :

∑ 𝑸_𝒊 = 𝟎 ;

𝒎_𝟏𝒄_𝒆(𝜽_𝒇− 𝜽_𝒊𝟏) + 𝒎_𝒎𝒄_𝒎(𝜽_𝒇− 𝜽_𝒊𝒎) + 𝑪_𝒄𝒂𝒍(𝜽_𝒇− 𝜽_𝒊𝟏) = 𝟎

𝑪_𝒎= − 𝒎_𝟏𝒄_𝒆(𝜽_𝒇− 𝜽_𝒊𝟏) + 𝑪_𝒄𝒂𝒍(𝜽_𝒇− 𝜽_𝒊𝟏) 𝒎_𝒎(𝜽_𝒇− 𝜽_𝒊𝒎)

𝑪_𝒎= − 𝟎. 𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝟒𝟏𝟖𝟓(𝟏𝟔. 𝟕 − 𝟏𝟓) + 𝟐𝟎𝟗(𝟏𝟔. 𝟕 − 𝟏𝟓)

𝟎. 𝟎𝟐𝟓(𝟏𝟔. 𝟕 − 𝟗𝟓) = 𝟓𝟒𝟒 𝑱𝒌𝒈^−𝟏𝑲^−𝟏

Eau m1 = 100 g Ce=4185 J kg^-1K^-1 Θi1 = 15 °C

θf = 16.7 °C Calorimètre Ccal = mcal*ccal Θi1 = 15 °C

métal mm= 25 g cm Θim = 95 °C

0.50

1.00

(6)

6/10

Exercice 3 : Chute d’une bille dans un fluide ( 5.0 points )

Dans un fluide, une bille de rayon r animée d’une vitesse v est soumise à une force de frottement donnée par

𝑭 = −𝟔 𝝅𝜼𝒓𝒗

, où 𝜼 est la viscosité dynamique du fluide.

1) Déterminer la dimension de 𝜼 ?

2) Montrer que la dimension de 𝜼 est la dimension d’une pression multiplié par un temps.

En déduire son unité dans le système international.

3) Lorsque la bille est lâchée dans le fluide sans vitesse initiale à l’instant t = 0, sa vitesse s’écrit pour t > 0 :

𝒗 = 𝒂 (𝟏 − 𝒆

⁻^𝒃^𝒕

)

où a et b sont deux grandeurs qui dépendent des caractéristiques du fluide.

Quelles sont les dimensions de a et b ? Justifiez.

4) Si ρ désigne la masse volumique du fluide, on définit un nombre Re appelé nombre de Reynolds, c’est un nombre sans dimension donné par :

𝑹𝒆 = 𝝆

^𝜶

𝒗

^𝜷

𝒓

^𝜸

𝜼

^𝜹

Ecrire le système d’équations qui permet de déterminer α, β, γ, δ pour que Re soit sans dimension. Conclusion

5) Résoudre le système en prenant α = 1 et écrire la formule du nombre de Reynolds.

Remarque : Le nombre de Reynolds Re permet de caractériser le régime d’écoulement d’un fluide (laminaire ou turbulent).

Réponse :

1) D’après la formule :

𝑭 = −𝟔 𝝅𝜼𝒓𝒗

𝜼 = −

_{𝟔 𝝅}^𝟏 _𝒓𝒗^𝑭

⇒ [𝜼] =

_{[−𝟔 𝝅]}^𝟏 _[𝒓][𝒗]^[𝑭]

= 𝟏

^𝑳𝑴𝑻_{𝑳.𝑳𝑻}_−𝟏^−𝟐

= 𝑳

^−𝟏

𝑴𝑻

^−𝟏

2)

[𝜼] = [𝑷 𝒕] = [𝑷][ 𝒕] = [

^𝑭

𝑺

] 𝑻 =

^𝑳𝑴𝑻^−𝟐

𝑳^𝟐

𝑻 = 𝑳

^−𝟏

𝑴𝑻

^−𝟏

L’unité de la viscosité dynamique dans le S.I est la Pa.s 3) D’après :

𝒗 = 𝒂 (𝟏 − 𝒆

⁻^𝒃^𝒕

)

[𝒂] = [𝒗] = 𝑳𝑻

^−𝟏

car

[ 𝟏 − 𝒆

⁻^𝒃^𝒕

] = 𝟏 [

_𝒃^𝒕

] = 𝟏 ⇒ [𝒃] = 𝑻

L’argument de l’exponentielle n’a pas dimension.

4) On a :

[𝑹𝒆] = [𝝆

^𝜶

][𝒗

^𝜷

][𝒓

^𝜸

][𝜼

^𝜹

] 𝟏 = (𝑴𝑳

^−𝟑

)

^𝜶

(𝑳𝑻

^−𝟏

)

^𝜷

𝑳

^𝜸

(𝑳

^−𝟏

𝑴𝑻

^−𝟏

)

^𝜹

𝟏 = 𝑳

^{−𝟑𝜶+𝜷+𝜸−𝜹}

𝑴

^𝜶+𝜹

𝑻

^{−𝜷−𝜹}

0.25*2 0.25*2

0.25*2

(7)

7/10

{

−𝟑𝜶 + 𝜷 + 𝜸 − 𝜹 = 𝟎 𝜶 + 𝜹 = 𝟎

−𝜷 − 𝜹 = 𝟎

Il y a 4 inconnues et 3 équations. On ne peut pas résoudre ce système.

5) Si on prend α = 1, le système devient :

On obtient alors le système suivant :

{

−𝟑𝜶 + 𝜷 + 𝜸 − 𝜹 = 𝟎 𝜶 + 𝜹 = 𝟎

−𝜷 − 𝜹 = 𝟎 𝜶 = 𝟏

{

𝜸 = 𝟏 𝜹 = −𝟏

𝜷 = 𝟏 𝜶 = 𝟏 𝑹𝒆 = 𝝆𝒗𝒓

𝜼

0.25*4

3*0.5

(8)

8/10

Exercice 4 : Convection dans un tube cylindrique ( 5.5 points )

Dans un tube cylindrique de 4 cm de diamètre circule un fluide (air) à une certaine vitesse moyenne et à une température de 50°C, la température de la paroi du tube est de 10°C . Le fluide est caractérisé par :

 Sa viscosité dynamique η = 1.9 10^-5 Pa.s

 Sa masse volumique ρ =1.2 kg m^-3

 Son coefficient de conductivité λ = 2.6 10^-2 en W/m.°C

 Sa chaleur massique ou capacité thermique c = 1. 10³en J/kg.°C

 Et sa vitesse v = 26.5 m/s.

Le nombre de Reynolds, noté Re, est donné par :

𝑹𝒆 =

^𝝆𝒗𝑫_𝜼

Le nombre de Prandtl, noté Pr, ne comportant que des grandeurs caractéristiques du fluide est donné par :

𝑷𝒓 =

^𝜼𝒄_𝝀

1) Calculer le nombre de Reynolds.

2) Calculer le nombre de Prandtl.

3) En déduire le nombre de Nusselt en utilisant la corrélation :

𝑵𝒖 = 𝟎. 𝟎𝟐𝟑 𝑹𝒆

^𝟎.𝟖

𝑷𝒓

^𝟎.𝟒

4) Le nombre de Nu est donné par :

𝑵𝒖 =

^𝒉𝑫_𝝀

, en déduire le coefficient de convection h.

5) Quelle relation y a-t-il entre le flux de chaleur échangé et le coefficient de convection h.

6) Déterminer la quantité de chaleur échangée par m² de surface du tube et par seconde.

Réponse :

1) Nombre de Reynolds :

𝑹𝒆 =

^𝝆𝒗𝑫_𝜼

=

𝟏.𝟐∗𝟐𝟔.𝟓∗𝟒 𝟏𝟎^−𝟐

𝟏.𝟗 𝟏𝟎^−𝟓

= 𝟔, 𝟕 . 𝟏𝟎

^𝟒

2) Nombre de Prandtl :

𝑷𝒓 =

^𝜼𝒄_𝝀

=

^{𝟏.𝟗 𝟏𝟎}_{𝟐.𝟔 𝟏𝟎}^−𝟓_−𝟐^∗𝟏𝟎^𝟑

= 𝟎, 𝟕𝟑

3) Le Nusselt est donné par :

𝑵𝒖 = 𝟎. 𝟎𝟐𝟑 𝑹𝒆

^𝟎.𝟖

𝑷𝒓

^𝟎.𝟒

= 𝟎, 𝟎𝟐𝟑 ∗ (𝟔, 𝟕 𝟏𝟎

^𝟒

)

^𝟎.𝟖

. (𝟎, 𝟕𝟑)

^𝟎.𝟒

𝑵𝒖 = 𝟏𝟒𝟕

4) Le coefficient de convection est donné par :

𝒉 = 𝝀 𝑵𝒖

𝑫 = 𝟐. 𝟔 𝟏𝟎

^−𝟐

∗ 𝟏𝟒𝟕

𝟒 𝟏𝟎

^−𝟐

= 𝟗𝟓, 𝟔 𝑾 𝒎 ⁄

^𝟐

. °𝑪

5) Relation entre le flux Φ et le coefficient de convection h.

𝚽 = 𝒉 𝑺 𝚫𝚯

6) Détermination de la quantité de chaleur échangée par m² dé surface et par seconde.

𝚽 = 𝒉 𝑺 𝚫𝚯 = 𝟗𝟓, 𝟔 ∗ 𝟏 ∗ (𝟓𝟎 − 𝟏𝟎) = 𝟑, 𝟖 𝒌𝑾

0.50 0.5*2

0.5*2

0.5*2 0.5*2

0.5*2

(9)

9/10

(10)

10/10

Exercice Bonus : Flux et densité de flux de chaleur ( 2.0 points)

On considère en un point O une source ponctuelle de chaleur émettant un flux de chaleur Φ constant de façon isotrope dans l’espace.

a) Etablir la loi de variation de la densité de flux φ (appelée aussi flux surfacique) à travers une sphère située à une distance r de la source.

b) Etablir la loi de variation de la densité de flux φ à travers la surface latérale d’un cylindre de rayon r et de hauteur h.

Réponse :

a) Loi de la densité de flux à travers une sphère :

𝝋 = 𝚽

𝟒𝝅𝒓

^𝟐

= 𝚽 𝟒𝝅 . 𝟏

𝒓

^𝟐

b) Loi de la densité de flux à travers la surface latérale d’un cylindre :

𝝋 = 𝚽

𝟐𝝅𝒓𝒉 = 𝚽 𝟐𝝅𝒉 . 𝟏

𝒓

1.00