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Slide chap2 variables aléatoires

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Chapitre 2. Variables al´ eatoires

Sidi Mohamed MAOULOUD

April 4, 2017

(2)

1 Rappels s´eries et int´egrales

2 Variable al´eatoire

3 Fonction de r´epartition

4 Fonction de densit´e et fonction de masse

5 Esp´erance math´ematique

Sidi Mohamed MAOULOUD

(3)

Int´ egrales

Primitives usuelles.

Ci-dessous quelques primitives de fonctions particuli`eres

f(x) Domaine F(x)

a R ax+C

xa R si a∈Z/{−1}sinon R+ xa+1

a+1 +C

1

x R ln|x|+C

ln(x) R+ x(ln(x)−1) +C

eax,a6= 0 R e

ax

a

(4)

Int´ egrales

SoitF une primitive de la fonctionf.

Lorsque la fonctionf est continue sur l’intervalle [a,b], Z b

a

f(x)dx =F(b)−F(a) Exemple.

Z 1 0

x2dx = x3

3 1

0

= 1

3−0 = 1 3

Lorsque la fonctionf est continue sur l’intervalle [a,b[, Z b

a

f(x)dx = lim

x→bF(x)−F(a);

Lorsque la fonctionf est continue sur l’intervalle ]a,b], Z b

a

f(x)dx =F(b)− lim

x→aF(x);

Exemple.

Z 1 0

√1

xdx = 2√

x1

0= 2−0 = 2

Sidi Mohamed MAOULOUD

(5)

Int´ egrales

Lorsque la fonctionf est continue sur l’intervalle [a,+∞[, Z +∞

a

f(x)dx = lim

x→+∞F(x)−F(a) Exemple.

Z +∞

1

1 x2dx =

−1 x

+∞

1

=−0 + 1 = 1

Lorsque la fonctionf est continue sur l’intervalle ]− ∞,b], Z b

−∞

f(x)dx =F(b)− lim

x→+∞F(x);

Si H est une primitive deh alors H(f(x)) est une primitive de f0(x)h(f(x))

Exemple.

Z +∞

0

xe−x2dx =−1 2

Z +∞

0

−2xe−x2dx =

−1 2 h

e−x2 i+∞

0 =−1

2(0−1) = 1 2

(6)

Int´ egrales

Int´egration par parties : est une technique utile dans le calcul d’int´egrale. Soitf et g deux fonctions de primitives respectivesF et G alors on a

Z b a

f(x)G(x)dx = [F(x)G(x)]ba− Z b

a

F(x)g(x)dx. Exemple.

R+∞

0 xe−xdx = [−xe−x]+∞0 −R+∞

0 −e−xdx

= 0−0 +R+∞

0 e−xdx = [−e−x]+∞0

= 0 + 1

= 1

Sidi Mohamed MAOULOUD

(7)

Sommation

Binˆome de Newton: (a+b)n=

n

X

k=0

Cnkakbn−k

Suite g´eom´etrique :

n

X

k=0

qk =1qn+1 1q

+∞

X

k=0

qk = 1 1q

+∞

X

k=n

qk = qn 1q

Exponentielle : ∀x∈R, ex =

+∞

X

k=0

xk k!

(8)

Variable al´ eatoire

Une variable al´eatoire est une fonctionX qui associe `a chaque r´esultat d’une exp´erience al´eatoire un nombre r´eel

Exemples.

Une pi`ece de monnaie 3 fois de suite.

Ω ={PPP,PPF,PFP,PFF,FPP,FPF,FFP,FFF}. X esigne le nombre de Pile. X(PPP) = 3,X(PPF) = 2, X(PFP) = 2,X(PFF) = 1, x(FPP) = 2,X(FPF) = 1, X(FFP) = 1 etX(FFF) = 0 Ici l’ensemble des valeurs que peut prendre la variableX est{0,1,2,3}.

Lancer une pi`ece de monnaie jusqu’`a obtenir Pile. X le nombre de lancers effectu´es. L’ensemble des valeurs qu’elle peut prendre estN.

On pr´el`eve une ampoule au hasard parmi une grande quantit´e et on d´esigne parX la dur´ee de vie de cette ampoule. Donc l’ensemble des valeurs possible estR+

Sidi Mohamed MAOULOUD

(9)

Discr` ete ou continue

Soit X une variable al´eatoire. On note par X(Ω) l’ensemble des valeurs que peut prendre X.

SiX(Ω) est de la forme{xi|iI}ouI est une partie de N, alors on dit queX est discr`ete

SiX(Ω) est un intervalle ou une union d’intervalles deR, Alors X est dite continue

Dans l’exemple pr´ec´edent les deux premi`eres variables sont discr`etes et la derni`ere est continue.

(10)

Fonction de r´ epartition

On appelle fonction de r´epartition de X, not´e FX, la fonction d´efinie sur R`a valeurs dans [0,1] tel queFX(x) =P(X ≤x). Ici (X ≤x) ={ω ∈Ω|X(ω)≤x}

Sidi Mohamed MAOULOUD

(11)

Fonction de r´ epartition. Propri´ et´ es

La fonction de r´epartitionFX est croissante et `a valeurs dans [0,1].

On a limx→−∞FX(x) = 0 et limx→+∞FX(x) = 1.

Pour tout x∈R P(X >x) = 1−FX(x)

Pour tout x,y ∈R,P(x<X ≤y) =FX(y)−FX(x).

Si X est continue alorsFX est continue et P(x≤X ≤y) =FX(y)−FX(x)

Si X est discr`ete alorsFX est en escalier.

Pour tout x∈R,P(X =x) =FX(x)−limy→xFX(y)

(12)

Fonction de r´ epartition. Exemple.

X le nombre obtenu en lan¸cant un d´e. X est v.a. discr`ete et on a

FX(x) =





0 six ≤1 0.17 si1≤x <2 0.33 si2≤x <3 ;

0.5 si 3≤x<4 0.67 si 4≤x<5 0.83 si 5≤x<6 1 si x≥6

0 1 2 3 4 5 6 7

0.00.20.40.60.81.0

x

F(x)

Sidi Mohamed MAOULOUD

(13)

Fonction de r´ epartition. Exemple.

On suppose que la dur´ee (en minute) d’attente X d’un client devant un guichet de banque a pour fonction de r´epartition la fonction

FX(x) =

0 si x≤0 1−e−0.1x si 0≤x La probabilit´e qu’un client attend moins de 5 minute est P(X ≤5) = 1−e−0.1×5= 0.39

0.00.20.40.60.81.0

F(x)

(14)

Fonction de densit´ e et fonction de masse

SoitF la fonction de r´epartition deX

Cas discret : pX(x) =P(X =x) =P(x <X ≤X) est la fonction de masse de la v.a. discr`ete X.

Cas continu : fX(x) =FX0 (x) est la fonction de densit´e de la v.a. continueX.

Sidi Mohamed MAOULOUD

(15)

Fonction de densit´ e et fonction de masse. Propri´ et´ es

Cas discret 0pX(x)1 P(aX b) = X

a≤x≤b

pX(x)

X

x∈X(Ω)

pX(x) = 1 Cas continue

fX(x)0 P(aX b) =

Z b

a

fX(x)dx=FX(b)FX(a) Z +∞

−∞

fX(x)dx= 1

(16)

Fonction de densit´ e et fonction de masse. Propri´ et´ es

Dans l’exemple du lancer de d´epx(x) = 1/6, pour x = 1,2,· · · ,6

Dans l’exemple de la v.a. dur´ee d’attentefX(x) = 0.1e−0.1x, si x≥0 etfX(x) = 0 sinon

Sidi Mohamed MAOULOUD

(17)

Esp´ erance

SoientX un v.a. et φune fonction. l’esp´erance math´ematique (ou moyenne) deφ(X) est donn´ee par

Cas discret :E[φ(X)] = X

x∈X(Ω)

xpX(x)

Cas continu :E[φ(X)] = Z +∞

−∞

xfX(x)dx

(18)

Esp´ erance. Exemple.

Soit X telle que pX(k) =e−λ λk!k pourk ∈N. On a E(X) = P

k=0kP(X =k) =P

k=1kP(X =k)

= e−λP k=1

λk

(k−1)! =λe−λP k=1

λk−1 (k−1)!

= λ

fX(x) =λe−λx si x≥0 etfX(x) = 0 sinon. On a E[X] = R+∞

−∞ xfX(x)dx

= R0

−∞xfX(x)dx+R+∞

0 xfX(x)dx

= 0 +λR+∞

0 xe−λxdx

= 1λ

Sidi Mohamed MAOULOUD

(19)

Caract´ eristiques d’une variable al´ eatoire

φ(X) Nom donn´e `a E[φ(X)]

Symbole courant

Utilit´e

X Moyenne µ Tendance centrale

(X −µ)2 Variance σ2 Dispersion autour de la moyenne

X−µ σ

3

Coefficient d’asym´etrie

γ1 > 0 : asym´etrie vers la droite;

< 0 : asym´etrie vers la gauche

X−µ σ

4

Coefficient d’aplatissement

β2 < 3 plus aplatie que la normale;

>3 moins aplatie que la normale

(20)

Autres caract´ eristiques

La racine de la variance s’appelle l’´ecart-type

Pour le calcul de la variance on utilise souvent la formule σ2 =E[X2]−(E[X])2

σ/µ est appel´eecoefficient de variation qui sert `a d´ecrire l’importance relative de variation de la variable al´eatoire.

Quantile d’ordre p : Q(p) =x avecp =FX(x) donc Q(p) =FX−1(p)

M´ediane : Q(0.5)

Les quartiles: Q(0.25), Q(0.5) et Q(0.75) Ecart inter-quartile´ : Q(0.75)−Q(0.25) Mode : x tel quefX(x) est maximale

Sidi Mohamed MAOULOUD

(21)

Propri´ et´ es

Propri´et´es.

1 E[aX] =aE[X]

2 E[aX+b] =aE[X] +b

3 E[aX+bY] =aE[X] +bE[Y]

4 E

" n X

i=1

Xi

#

=

n

X

i=1

E[Xi]

5 V(aX +b) =a2V(X)

Références

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