Chapitre 2. Variables al´ eatoires
Sidi Mohamed MAOULOUD
April 4, 2017
1 Rappels s´eries et int´egrales
2 Variable al´eatoire
3 Fonction de r´epartition
4 Fonction de densit´e et fonction de masse
5 Esp´erance math´ematique
Sidi Mohamed MAOULOUD
Int´ egrales
Primitives usuelles.
Ci-dessous quelques primitives de fonctions particuli`eres
f(x) Domaine F(x)
a R ax+C
xa R∗ si a∈Z/{−1}sinon R∗+ xa+1
a+1 +C
1
x R∗ ln|x|+C
ln(x) R∗+ x(ln(x)−1) +C
eax,a6= 0 R e
ax
a
Int´ egrales
SoitF une primitive de la fonctionf.
Lorsque la fonctionf est continue sur l’intervalle [a,b], Z b
a
f(x)dx =F(b)−F(a) Exemple.
Z 1 0
x2dx = x3
3 1
0
= 1
3−0 = 1 3
Lorsque la fonctionf est continue sur l’intervalle [a,b[, Z b
a
f(x)dx = lim
x→bF(x)−F(a);
Lorsque la fonctionf est continue sur l’intervalle ]a,b], Z b
a
f(x)dx =F(b)− lim
x→aF(x);
Exemple.
Z 1 0
√1
xdx = 2√
x1
0= 2−0 = 2
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Int´ egrales
Lorsque la fonctionf est continue sur l’intervalle [a,+∞[, Z +∞
a
f(x)dx = lim
x→+∞F(x)−F(a) Exemple.
Z +∞
1
1 x2dx =
−1 x
+∞
1
=−0 + 1 = 1
Lorsque la fonctionf est continue sur l’intervalle ]− ∞,b], Z b
−∞
f(x)dx =F(b)− lim
x→+∞F(x);
Si H est une primitive deh alors H(f(x)) est une primitive de f0(x)h(f(x))
Exemple.
Z +∞
0
xe−x2dx =−1 2
Z +∞
0
−2xe−x2dx =
−1 2 h
e−x2 i+∞
0 =−1
2(0−1) = 1 2
Int´ egrales
Int´egration par parties : est une technique utile dans le calcul d’int´egrale. Soitf et g deux fonctions de primitives respectivesF et G alors on a
Z b a
f(x)G(x)dx = [F(x)G(x)]ba− Z b
a
F(x)g(x)dx. Exemple.
R+∞
0 xe−xdx = [−xe−x]+∞0 −R+∞
0 −e−xdx
= 0−0 +R+∞
0 e−xdx = [−e−x]+∞0
= 0 + 1
= 1
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Sommation
Binˆome de Newton: (a+b)n=
n
X
k=0
Cnkakbn−k
Suite g´eom´etrique :
n
X
k=0
qk =1−qn+1 1−q
+∞
X
k=0
qk = 1 1−q
+∞
X
k=n
qk = qn 1−q
Exponentielle : ∀x∈R, ex =
+∞
X
k=0
xk k!
Variable al´ eatoire
Une variable al´eatoire est une fonctionX qui associe `a chaque r´esultat d’une exp´erience al´eatoire un nombre r´eel
Exemples.
Une pi`ece de monnaie 3 fois de suite.
Ω ={PPP,PPF,PFP,PFF,FPP,FPF,FFP,FFF}. X d´esigne le nombre de Pile. X(PPP) = 3,X(PPF) = 2, X(PFP) = 2,X(PFF) = 1, x(FPP) = 2,X(FPF) = 1, X(FFP) = 1 etX(FFF) = 0 Ici l’ensemble des valeurs que peut prendre la variableX est{0,1,2,3}.
Lancer une pi`ece de monnaie jusqu’`a obtenir Pile. X le nombre de lancers effectu´es. L’ensemble des valeurs qu’elle peut prendre estN∗.
On pr´el`eve une ampoule au hasard parmi une grande quantit´e et on d´esigne parX la dur´ee de vie de cette ampoule. Donc l’ensemble des valeurs possible estR+
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Discr` ete ou continue
Soit X une variable al´eatoire. On note par X(Ω) l’ensemble des valeurs que peut prendre X.
SiX(Ω) est de la forme{xi|i∈I}ouI est une partie de N, alors on dit queX est discr`ete
SiX(Ω) est un intervalle ou une union d’intervalles deR, Alors X est dite continue
Dans l’exemple pr´ec´edent les deux premi`eres variables sont discr`etes et la derni`ere est continue.
Fonction de r´ epartition
On appelle fonction de r´epartition de X, not´e FX, la fonction d´efinie sur R`a valeurs dans [0,1] tel queFX(x) =P(X ≤x). Ici (X ≤x) ={ω ∈Ω|X(ω)≤x}
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Fonction de r´ epartition. Propri´ et´ es
La fonction de r´epartitionFX est croissante et `a valeurs dans [0,1].
On a limx→−∞FX(x) = 0 et limx→+∞FX(x) = 1.
Pour tout x∈R P(X >x) = 1−FX(x)
Pour tout x,y ∈R,P(x<X ≤y) =FX(y)−FX(x).
Si X est continue alorsFX est continue et P(x≤X ≤y) =FX(y)−FX(x)
Si X est discr`ete alorsFX est en escalier.
Pour tout x∈R,P(X =x) =FX(x)−limy→x−FX(y)
Fonction de r´ epartition. Exemple.
X le nombre obtenu en lan¸cant un d´e. X est v.a. discr`ete et on a
FX(x) =
0 six ≤1 0.17 si1≤x <2 0.33 si2≤x <3 ;
0.5 si 3≤x<4 0.67 si 4≤x<5 0.83 si 5≤x<6 1 si x≥6
0 1 2 3 4 5 6 7
0.00.20.40.60.81.0
x
F(x)
●
●
●
●
●
●
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Fonction de r´ epartition. Exemple.
On suppose que la dur´ee (en minute) d’attente X d’un client devant un guichet de banque a pour fonction de r´epartition la fonction
FX(x) =
0 si x≤0 1−e−0.1x si 0≤x La probabilit´e qu’un client attend moins de 5 minute est P(X ≤5) = 1−e−0.1×5= 0.39
0.00.20.40.60.81.0
F(x)
Fonction de densit´ e et fonction de masse
SoitF la fonction de r´epartition deX
Cas discret : pX(x) =P(X =x) =P(x <X ≤X) est la fonction de masse de la v.a. discr`ete X.
Cas continu : fX(x) =FX0 (x) est la fonction de densit´e de la v.a. continueX.
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Fonction de densit´ e et fonction de masse. Propri´ et´ es
Cas discret 0≤pX(x)≤1 P(a≤X ≤b) = X
a≤x≤b
pX(x)
X
x∈X(Ω)
pX(x) = 1 Cas continue
fX(x)≥0 P(a≤X ≤b) =
Z b
a
fX(x)dx=FX(b)−FX(a) Z +∞
−∞
fX(x)dx= 1
Fonction de densit´ e et fonction de masse. Propri´ et´ es
Dans l’exemple du lancer de d´epx(x) = 1/6, pour x = 1,2,· · · ,6
Dans l’exemple de la v.a. dur´ee d’attentefX(x) = 0.1e−0.1x, si x≥0 etfX(x) = 0 sinon
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Esp´ erance
SoientX un v.a. et φune fonction. l’esp´erance math´ematique (ou moyenne) deφ(X) est donn´ee par
Cas discret :E[φ(X)] = X
x∈X(Ω)
xpX(x)
Cas continu :E[φ(X)] = Z +∞
−∞
xfX(x)dx
Esp´ erance. Exemple.
Soit X telle que pX(k) =e−λ λk!k pourk ∈N. On a E(X) = P∞
k=0kP(X =k) =P∞
k=1kP(X =k)
= e−λP∞ k=1
λk
(k−1)! =λe−λP∞ k=1
λk−1 (k−1)!
= λ
fX(x) =λe−λx si x≥0 etfX(x) = 0 sinon. On a E[X] = R+∞
−∞ xfX(x)dx
= R0
−∞xfX(x)dx+R+∞
0 xfX(x)dx
= 0 +λR+∞
0 xe−λxdx
= 1λ
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Caract´ eristiques d’une variable al´ eatoire
φ(X) Nom donn´e `a E[φ(X)]
Symbole courant
Utilit´e
X Moyenne µ Tendance centrale
(X −µ)2 Variance σ2 Dispersion autour de la moyenne
X−µ σ
3
Coefficient d’asym´etrie
γ1 > 0 : asym´etrie vers la droite;
< 0 : asym´etrie vers la gauche
X−µ σ
4
Coefficient d’aplatissement
β2 < 3 plus aplatie que la normale;
>3 moins aplatie que la normale
Autres caract´ eristiques
La racine de la variance s’appelle l’´ecart-type
Pour le calcul de la variance on utilise souvent la formule σ2 =E[X2]−(E[X])2
σ/µ est appel´eecoefficient de variation qui sert `a d´ecrire l’importance relative de variation de la variable al´eatoire.
Quantile d’ordre p : Q(p) =x avecp =FX(x) donc Q(p) =FX−1(p)
M´ediane : Q(0.5)
Les quartiles: Q(0.25), Q(0.5) et Q(0.75) Ecart inter-quartile´ : Q(0.75)−Q(0.25) Mode : x tel quefX(x) est maximale
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Propri´ et´ es
Propri´et´es.
1 E[aX] =aE[X]
2 E[aX+b] =aE[X] +b
3 E[aX+bY] =aE[X] +bE[Y]
4 E
" n X
i=1
Xi
#
=
n
X
i=1
E[Xi]
5 V(aX +b) =a2V(X)