Chapitre 3 : «
Chapitre 3 : « Inéquations du 1 Inéquations du 1
erdegré
erdegré » »
I. Inéquation
1/ Symboles à connaître
• x7 se dit « x est strictement supérieur à 7 ». x représente tous les nombres plus grand que 7 , sans être égal à 7 .
• y7 se dit « y est supérieur ou égal à 7 ». y représente tous les nombres plus grand que 7, le nombre 7 y compris.
• z–3 se dit « z est inférieur ou égal à –3 ». z représente tous les nombres plus petit que –3 , le nombre –3 y compris.
• t–3 se dit « t est strictement inférieur à –3 ». t représente tous les nombres plus petit que –3, sans être égal à –3.
2/ Inéquations
Description –52x3x4
• Le membre de gauche est –52x.
• Le membre de droite est 3x4.
• La séparation se fait par l'un des symboles suivants : ; ; ; .
• x est l'inconnue. On cherche les valeurs x pour que –52x soit supérieur ou égal à 3x4.
3/ Tester une inéquation
Exemple/Méthode
On reprend l'équation –52x3x4 .
• On teste cette équation pour x=–2
✗ –52x=–52×–2=–5–4=–9
✗ 3x4=3×–24=–64=–2
✗ Puisque –9 n'est pas supérieur ou égal à –2 , le nombre –2 n'est pas solution de l'inéquation.
On considère l'équation 43x2x –3 .
• Teste pour x=–10
✗ 43x=43×–10=4–30=–26
✗ 2x –3=2×–10–3=–20–3=–23
✗ Puisque –26–23 , x=–10 est une solution.
4/ Inéquations « simples »
x27
x5 x –x25–3 – x–325x ou x–3
2x6
x3 –x–2x63
5/ Exemple de résolution d'inéquations
Méthode sur un exemple 7x –23x4
7x –223x42 7x3x6
7x –3x3x6–3x 4x6
4x 4 6
4 x6
4 x3 2
Les solutions sont tous les nombres inférieurs ou égal à 3 2=1,5 . Autre exemple
6x32x –5
….
x–2
Les solutions sont tous les nombres strictement supérieurs à –2 .
Parfois, cela ne fonctionne pas comme il faut...
–6x5–3x –2 –6x5–5–3x –2–5 –6x–3x –7
–6x 3x–3x –73x –3x–7
Dans l'étape suivante, on divise par –3. Puisque ce nombre est négatif, on va changer l'ordre et mettre le symbole à la place de .
–3x –3 –7
–3 x7
3
Les solutions sont tous les nombres strictement supérieur à 7 3 .
Propriété fondamentale
Lorsqu'on multiplie ou divise les deux membres d'une inéquation (ou une inégalité) par un nombre négatif, il faut changer l'ordre : ce qui était plus grand devient plus petit.
Exemple –7x5
–7x –7 5
–7 x–5
7
6/ Représentation des solutions sur une droite graduée
Exemples
Représente sur une droite graduée l'ensemble des nombres x tels que x–1.
Même question avec x–1
On obtient la même représentation. Pourtant, dans le premier cas –1 fait partie des solutions et dans le deuxième cas –1 n'en fait pas partie. Pour différencier les deux cas, on utilise un crochet : [ ou ].
• Lorsque le nombre fait partie des solutions, on tourne le crochet vers le trait rouge.
• Lorsque le nombre ne fait pas partie des solutions, on le tourne à l'opposé du trait rouge.
Pour x–1, cela donne :
Pour x–1, cela donne :
7/ Exemples compliqués !
Exemple 1
3x−73x423−2x4 3x –7×3x –7×42×3–2×2x4 3x –21x –286–4x4
–18x –2810–4x
–18x –282810–4x28 –18x38–4x
–18x4x38–4x4x –14x38
–14x –14 38
–14 x−2×19
2×7 x–19
7
Exemple 2
–3x –2–6x7–2×4x –2
–3x –3×–2–6x7–2×4x –2×–2
–3x6–6x7–8x4 –9x611–8x
–9x6–611–8x –6 –9x5–8x
–9x8x5–8x8x –1x5
–1x –1 5
–1 x–5
II. Résolution de problèmes : mise en inéquation
Sur un exemple (n°61 page 81)
Arthur a eu 12 , 9 et 13 aux trois premiers contrôles de mathématiques. C'est bientôt la fin du trimestre et il reste un dernier contrôle. Au dessus de quelle note il doit être pour obtenir une moyenne supérieure à 13 ?
• 1 ère étape : « Choix de l'inconnue » x représente la note au dernier contrôle.
• 2 ème étape : « Exprimer en fonction de x »
Si x est la note au dernier contrôle, la moyenne du trimestre est 12913x
4 .
• 3 ème étape : « Mise en inéquation » 12913x
4 13
• 4 ème étape : « Résolution de l'inéquation » 34x
4 13
34x
4 ×413×4 34x52
34x –3452–34 x18
• 5 ème étape : « Conclusion »
Pour avoir une moyenne supérieure à 13, Arthur doit avoir plus de 18 au dernier contrôle.
