Transform´ee enZ D-IRIS2-03.tex
TS 2 IRIS : Devoir n˚ 3
Les quatre parties de ce devoir peuvent ˆetre trait´ees ind´ependamment.
1) Signal analogique. Transform´ ee de Laplace.
Soit le signal analogique causalf d´efini de la fa¸con suivante :
f(t) = 0 si t <0 f(t) =t si 0≤t <2 f(t) = 2 si t≥2 a) Faire une repr´esentation graphique de t 7→ f(t)
b) Exprimer f(t) en fonction de t et de U(t).
c) D´eterminer F la transform´ee de Laplace de f.
2) Signal discret. Transform´ ee en Z.
Soit le signal discret causalud´efini de la fa¸con suivante : u(n) =e(n−1) +e(n−2) a) Faire une repr´esentation graphique de n 7→ u(n)
b) D´eterminer U = (Zu) la transform´ee enZ deu.
c) Exprimer U(z) = (Zu)(z) d’abord, comme une fraction rationnelle de la variable z, puis ensuite, comme une fraction rationnelle de la variablez−1
3) Transform´ ee de Laplace inverse.
SoitGla transform´ee de Laplace deg d´efinie par : G(p) =1−e−2p p2
a) D´eterminer g l’original de G.
b) Faire une repr´esentation graphique de t 7→ g(t)
4) Transform´ ee en Z inverse.
Transform´ee en Z inverse. SoitV la transform´ee enZ dev d´efinie par : V(z) = z+ 1 z(z−1) a) D´ecomposerV(z) en ´el´ement simples, puis mettrez−1 en facteur.
b) En d´eduire v= (Z−1V) l’original de V.
c) Faire une repr´esentation graphique de n 7→ v(n)
Que pensez-vous de f g u et v ?
Si vous avez termin´ e les exercices pr´ ec´ edents ...
En utilisant la Transform´ee de Laplace, r´esoudre l’´equation diff´erentielle suivante dx(t)
dt +x(t) = (t+ 1)U(t)−tU(t−2) avec x(0) = 0
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♠ LATEX
Transform´ee enZ D-IRIS2-03.tex
TS 2 IRIS : Devoir n˚ 3 (Solution)
Les quatre parties de ce devoir peuvent ˆetre trait´ees ind´ependamment.
1) Signal analogique. Transform´ ee de Laplace.
Soit le signal analogique causalf d´efini de la fa¸con suivante :
f(t) = 0 si t <0 f(t) =t si 0≤t <2 f(t) = 2 si t≥2 a) Faire une repr´esentation graphique de t 7→ f(t)
t f(t)
−2 −1 O 1 2 3 4 5 6
1 2
b) Exprimer f(t) en fonction de t et de U(t).
f(t) =t U(t)−t U(t−2) + 2 U(t−2) f(t) =t U(t)−(t−2) U(t−2) c) D´eterminer F la transform´ee de Laplace de f.
F(p) = 1 p2 − 1
p2e−2p
2) Signal discret. Transform´ ee en Z.
Soit le signal discret causalud´efini de la fa¸con suivante : u(n) =e(n−1) +e(n−2) a) Faire une repr´esentation graphique de n 7→ u(n)
n u(n)
−2 −1 O 1 2 3 4 5 6
1 2
• • •
•
• • • • •
b) D´eterminer U = (Zu) la transform´ee enZ deu.
U(z) = (Zu)(z) =z−1 z
z−1+z−2 z z−1
c) Exprimer U(z) = (Zu)(z) d’abord, comme une fraction rationnelle de la variable z, puis ensuite, comme une fraction rationnelle de la variablez−1
U(z) = z+ 1
z(z−1) = z+ 1
z2−z = z−1+z−2
1−z−1 = z−1(1 +z−1) 1−z−1
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3) Transform´ ee de Laplace inverse.
SoitGla transform´ee de Laplace deg d´efinie par : G(p) =1−e−2p p2
a) D´eterminer g l’original de G.
G(p) = 1−e−2p p2 = 1
p2−e−2p
p2 a pour original : g(t) =t U(t)−(t−2)U(t−2) b) Faire une repr´esentation graphique de t 7→ g(t)
t g(t) =f(t)
−2 −1 O 1 2 3 4 5 6
1 2
4) Transform´ ee en Z inverse.
Transform´ee en Z inverse. SoitV la transform´ee enZ dev d´efinie par : V(z) = z+ 1 z(z−1) a) D´ecomposerV(z) en ´el´ement simples, puis mettrez−1 en facteur.
V(z) = z+ 1
z(z−1) = 2 z−1 −1
z =z−1 2z
z−1−z−1 b) En d´eduire v= (Z−1V) l’original de V.
v(n) = (Z−1V)(n) = 2e(n−1)−d(n−1) c) Faire une repr´esentation graphique de n 7→ v(n)
n v(n) =u(n)
−2 −1 O 1 2 3 4 5 6
1 2
• • •
•
• • • • •
Que pensez-vous de f g u et v ?
On remarque que :
f(t) =g(t) et u(n) =v(n) De plus on peut dire que :
uest le signal num´erique obtenu `a partir du signal analogiquef par ´echantillonnage au pas ∆t= 1
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Si vous avez termin´ e les exercices pr´ ec´ edents ...
En utilisant la Transform´ee de Laplace, r´esoudre l’´equation diff´erentielle suivante dx(t)
dt +x(t) = (t+ 1)U(t)−tU(t−2) avec x(0) = 0 Par la Transform´ee de Laplace et avec : L[x] =X Soit l’´equation :
d x(t)
d t +x(t) = (t+ 1)U(t)−tU(t−2) x0(t) +x(t) = (t+ 1)U(t)− (t−2) + 2
U(t−2) qui a pour transform´ee :
p X(p) +X(p) = 1
p2 +1 p
− 1
p2+2 p
e−2p (p+ 1)X(p) = p+ 1
p2 −2p+ 1 p2 e−2p X(p) = 1
p2 − 2p+ 1 p2(p+ 1)e−2p X(p) = 1
p2 − 1
p2 +1 p− 1
p+ 1
e−2p qui a pour original :
x(t) =t U(t)− (t−2) + 1−e−(t−2)
U(t−2) Donc :
x(t) =t U(t)− t−1−e2e−t
U(t−2) Avec la d´efinition par intervalles suivante :
x:
x(t) = 0 si t <0 x(t) =t si 0≤t <2 x(t) = 1 +e2e−t si t≥2
Apr`es ´etude des variations dexsur [ 0 ; 2 [ et ensuite sur [ 2 ; +∞[ on obtient :
t (t+ 1)U(t)−tU(t−2)
−1 O 1 2 3 4 5 6
1 2 3
t x(t)
O ~i 2 3 4 5 6
~j 2 3
Signal en Entr´ee Signal en Sortie
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♠ 4 / 4 LATEX
