ELEMENTS PROPRES D'UN ENDOMORPHISME
E désigne un K espace vectoriel de dimension finie n (n∈N*).
1) Sous espaces stables
définition
Soient u un endomorphisme de E, F un sous espace vectoriel de E. On dit que F est stable par u si F
F
u( )⊂ . Si F est un sous espace stable par u, la restriction de u à F induit un endomorphisme de F, noté uF défini par : ∀x∈F,uF(x)=u(x).
théorème (caractérisation matricielle d'un sous espace stable)
Soit F un sous espace vectoriel non nul de E. Soit e=(e1,...,en) une base de E obtenue en complétant une base (e1,...,ep) de F. Alors f est stable par u si et seulement si mat(u;e) est de la
forme ⎟⎟
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ C
B A
0 , avec A∈Mp(K), )C∈Mp,n−p(K , 0 étant la matrice nulle à n-p lignes et p colonnes
démonstration
2) Eléments propres d'un endomorphisme
E désigne ici un K espace vectoriel, non nécessairement de dimension finie.
définition (valeur propre)
Soit u un endomorphisme de E. On dit que λ∈K est valeur propre de u si u−λidE est non injectif, c'est-à-dire s'il existe x∈E−
{ }
0 tel que u(x)=λx.définition (spectre)
On appelle spectre d'un endomorphisme u de E, noté Sp(u), l'ensemble des valeurs propres de u.
définition (vecteur propre)
On dit que x∈E est vecteur propre d'un endomorphisme u si x≠0 et s'il existe λ∈K tels que x
x
u( )=λ .
définition (sous espace propre)
Soit u un endomorphisme de u et λ∈Sp(u). On appelle sous espace propre de u associé à la valeur propre λ, le sous espace Eu(λ)=Ker(u−λidE).
proposition
Soit u un endomorphisme de E. Soit (λi)1≤i≤n (n≥2) une famille de valeurs propres de u deux à deux distinctes. Alors la somme
∑
= n λ
i
i
Eu 1
)
( est directe.
démonstration Par récurrence sur n.
Notons P(n) : "si (λi)1≤i≤n (n≥2) est une famille de valeurs propres de u deux à deux distinctes, alors la somme
∑
= n λ
i
i
Eu 1
)
( est directe".
• n=2. Soit λ1,λ2 deux valeurs propres de u avec λ1≠λ2. Soit )x∈Eu(λ1)∩Eu(λ2 . Alors u(x)=λ1x et u(x)=λ2x. Donc (λ1−λ2)x=0 et donc x=0 (car λ1≠λ2).
Donc Eu(λ1)∩Eu(λ2)=
{ }
0 et donc Eu(λ1)+Eu(λ2)=Eu(λ1)⊕Eu(λ2). P(2) est donc vraie.• Soit 2n∈N,n≥ .Supposons P(n) vraie. Soit (λi)1≤i≤n+1 une famille de valeurs propres de u deux à deux distinctes. On a ( ) ( )
1 1
i u n
i n
i
i
u E
E λ =
⊕
λ∑
= =car P(n) est vraie.
Soit
∑
=
+ ∩ λ
λ
∈ n
i
i u n
u E
E x
1
1) ( )
( .
Alors
⎪⎩
⎪⎨
⎧
= λ
∈
∃ λ
=
∏ ∑
= =
+ n
i
n
i i i
u n
n
x x E
x x
x x
u
1 1
1 1
), ( )
,..., (
) (
.
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
= ⎛
∑
= n
i
xi
u x u
1
) (
∑
=
= n
i
xi
u
1
) (
∑
=
λ
= n
i i ix
1
Or
∑
= + + =λ λ
= n
i i n
n x x
x u
1 1
) 1
(
donc 0
1 1 1
= λ
−
λ
∑
∑
+ ==
n
i i n n
i i
ix x
donc
∑
= λ + −λ =
n
i
i i
n x
1
1 ) 0
( .
Or, )∀i∈Nn,(λi −λn+1)xi∈Eu(λi donc
∑ ∑
=
= λ −λ + ∈ n λ
i
i u n
i
i n
i x E
1 1
1) ( )
( . La somme ( )
1
∑
= n λi
i
Eu étant directe, la décomposition est unique (voir chapitre sur sommes et sommes directes de sev) donc :
0 ) (
, λ −λ =
∈
∀i N x donc ∀i∈N ,x =0 car λ ≠λ .
Donc )( ) (
1
1
1
1 i n
i
u n
i i
u E
E λ = λ
∑
+⊕
=
+
=
donc P(n+1) est vraie.
• Donc : ∀n∈N,n≥2, P(n) est vraie.
Corollaire
(i) Un vecteur propre est associé à une seule valeur propre.
(ii) Si (x1,...,xn) est une famille de vecteurs propres associé à des valeurs propres deux à deux distinctes, alors cette famille est libre.
proposition
Soit u un endomorphisme de E et λ∈Sp(u). (i) ))∀P∈K[X],P(λ)∈Sp(P(u
(ii) )∀k∈N,λk∈Sp(uk démonstration
) ( ) (X −P λ
P est divisible par X −λ (car ce polynôme admet λ comme racine).
) ( ) ( ) ( ) ( ],
[X P X P X Q X
K
Q∈ − λ = −λ
∃ .
Donc P(u)−P(λ)idE =Q(u)D(u−λidE) donc Ker(u−λidE)⊂Ker(P(u)−P(λ)idE).
Comme Ker(u−λidE)≠
{ }
0 car λ∈Sp(u), il en résulte que Ker(P(u)−P(λ)idE)≠{ }
0 donc idEP u
P( )− (λ) est non injectif donc P(λ)∈Sp(P(u)). (ii) on applique (i) avec P(X)=Xk.
proposition
Soit u un endomorphisme de E.Si u est inversible, alors 0∉Sp(u) et on a :
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ λ∈
= λ
− 1, ( )
)
(u 1 Sp u
Sp .
démonstration
Si u est inversible, alors u est injective donc Ker(u)=
{ }
0 et donc 0∉Sp(u).{ }
u x xE x u
Sp ⇔∃ ∈ − =λ
∈
λ ( −1) 0, −1( ) ⇔∃x∈E−
{ }
0, x=u(λx)⇔∃x∈E−
{ }
0, x=λu(x) x E{ }
u x x=λ
−
∈
∃
⇔ 1
) ( , 0
3) Polynôme caractéristique
E désigne un k espace vectoriel de dimension finie n (n∈N*).
théorème
Soit )A∈Mn(K . )det(A−X In est un polynôme de degré n. Si a et b sont semblebles, alors )
det(
)
det(A−XIn = B−XIn . démonstration
Notons
n j
n i j
ai
A
≤
≤≤
= ≤ 1
)1
( et
n j
n i j i
n p
I X A
≤
≤≤
= ≤
−
1
)1
( .
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
≠
−
=
∈ =
∀
j i j i
i i i i
n sii j p a
X a p j i si N j
i ,
, ,
, .
∑ ∏
∈
σ ε σ = σ
=
−
Sn
n
i
i i
n p
I X A
1 ),
) (
( )
det(
• si
∏ ∏ ∏
=
=
= σ = = −
=
σ n
i i i n
i i i n
i
i i
N p p a X
id n
1 1
1 ),
( ( )
, donc
∏
= σ
n
i
i
p i 1
),
( est un polynôme de degré n et de coefficient dominant (−1)n.
• si
∏
= σ
≠
σ n
i
i i
N p
id n
1 ),
, ( est un polynôme de degré inférieur ou égal à n-1 donc det(A−X In) est un polynôme de degré n, de coefficient dominant (−1)n.
• Soient )A,B∈Mn(K deux matrices semblables. ∃P∈GLn(K),B=P−1AP. )
det(
)
det(B−X In = P−1AP−X In
=det(P−1AP−P−1(X In)P) =det(P−1(A−XIn)P)
=det(P−1)×det(A−XIn)×det(P) =det(A−XIn) (det(P−1)×det(P)=1)
définition (polynôme caractéristique d'une matrice)
Le polynôme χA(X)=det(A−XIn) est appelé polynôme caractéristique de A.
définition
Soit u un endomorphisme de E. Soit e une base de E et A=mat(u;e). Le polynôme )
det(
)
( n
u X = A−X I
χ est indépendant de la base choisie. χu est appelé polynôme caractéristique de u.
théorème
démonstration
{ }
0) (
)
( ⇔ −λ ≠
∈
λ Sp u Ker u idE ⇔det(u−λidE)=0 ⇔χu(λ)=0
définition
On dit que λ∈K est valeur propre de u d'ordre m si λ est racine de χu d'ordre de multiplicité m.
proposition
Soit u un endomorphisme de E et λ une valeur propre de u d'ordre m. Alors 1≤dim(Eu(λ))≤m. démonstration
• λ est valeur propre de u. Soit x un vecteur propre associé. x∈Eu(λ) et x≠0 donc 1
)) ( (Eu λ ≥
dim .
• Soit v l'endomorphisme de Eu(λ) induit par u. Soit p=dim(Eu(λ)). Soit e une base de Eu(λ). )
,..., ( )
;
(v e =diag λ λ
mat , λ apparaissant p fois. χv(X)=(λ−X)p et χv divise χu donc p≤m, c'est-à-dire dim(Eu(λ))≤m.
