UPMC 5MF32 Groupes r´ eductifs et repr´ esentations 2015-2016
Feuille de TD no. 1
Dans la suite, tous les anneaux consid´er´es sont commutatifs et l’on ´ecrira «Λ-alg`ebre» au lieu de «Λ-alg`ebre commutative».
Exercice 1. — SoitC une cat´egorie. On noteCbla cat´egorie des foncteurs contravariants deC dans la cat´egorie des ensembles et, pour tout objetX deC, on d´esigne parhX l’objet deCbd´efini par
hX(Y) = HomC(Y, X) pour tout Y ∈C.
On rappelle le lemme de Yoneda : pour tout objet F deCb, on a une bijection canonique : HomCb(hX, F)−→∼ F(X), φ 7→φX(idX).
(1) Soit F un objet de Cb. On dit F estrepr´esentable s’il existe un couple (X, φ) o`u X est un objet de C et φ un isomorphisme hX −→∼ F. Montrer que, dans ce cas, le couple (X, φ) est unique `a isomorphisme unique pr`es.
(2) On suppose que les produits finis existent dansC et queC poss`ede un objet finalω.
Soit X un objet de C tel que le foncteur hX soit un foncteur en groupes, i.e.hX(Y) est un groupe pour tout objet Y ethX(f) :hX(Y)→hX(Z) est un morphisme de groupes, pour tout morphisme f : Z → Y dans C. Montrer alors que X est un groupe dans la cat´egorie C, i.e. il existe dansC des morphismesm:X×X →X,e:ω →X etι:X →X tels que les diagrammes ci-dessous soient commutatifs :
X×X×X m×idX//
idX×m
X×X
m
X×X m //X
X (idX,e) //
(e,idX)
idX
&&
X×X
m
X×X m //X
X (idX,ι) //
(ι,idX)
e
&&
X×X
m
X×X m //X o`u l’on a not´e e:X →X la compos´ee de l’unique morphisme X →ω avece:ω →X.
Exercice 2. — Soit Λ un anneau commutatif et C la cat´egorie des Λ-sch´emas affines. Un groupe dans C est appel´e un Λ-sch´ema en groupes.
(1) Montrer qu’un objetG= Spec(A) deC est un Λ-sch´ema en groupes si et seulement si A est muni d’une structure de Λ-alg`ebre de Hopf.
(2) Soit H = Spec(B) un second Λ-sch´ema en groupes et soit f :H →Gun morphisme de Λ-sch´emas, donn´e par un morphisme de Λ-alg`ebres φ : A → B. Montrer que f est un morphisme de sch´emas en groupes ssi φ est un morphisme d’alg`ebres de Hopf, et que ceci est le cas ssi ∆B◦φ = (φ◦φ)◦∆A (i.e. que les conditions εB◦φ =εA et τB◦φ =φ◦τA sont automatiquement v´erifi´ees).
(3) Expliciter les structures d’alg`ebre de Hopf sur Z[Ga], Z[Gm] et Z[GLn].
Exercice 3. — Soitkun anneau commutatif etG= Spec(A) unk-sch´ema en groupes. On notek[] =k⊕k, o`u2 = 0. (Cette variable de carr´e nuln’est pas `a confondre avec l’augmentation ε:A→k.) Pour toute k-alg`ebre R, on pose R[] = R⊗kk[] = R⊕R. Le morphisme de k-alg`ebres R[] → R envoyant sur 0 induit un morphisme de groupes G(R[]) → G(R) et l’on note Lie(G)(R) le noyau de ce morphisme. Ceci d´efinit un foncteur Lie(G) de la cat´egorie des k-alg`ebres dans celle des groupes.
(1) Montrer que Lie(G)(R) s’identifie au R-module Derε(A, R) des applications k- lin´eaires δ :A→R telles que, pour tout a, b∈A,
δ(ab) = ε(a)δ(b) +ε(b)δ(a).
1
2
Pour un tel δ, montrer que δ(1A) = 0.
(2) Soitm= Ker(ε). Montrer que toutδcomme ci-dessus est d´etermin´e par sa restriction
`
a m, puis que Derε(A, R)'Homk(m/m2, R).
(3) Montrer que via l’identification pr´ec´edente, la structure de groupe de Lie(G)(R) (induite par celle de G(R[])) co¨ıncide avec la structure de groupe ab´elien du R-module Derε(A, R).
(4) Si k est noeth´erien et si A est une k-alg`ebre de type fini, montrer que m/m2 et Lie(G)(k) sont desk-modules de type fini.
(5) Si m/m2 est un k-module libre de rang fini montrer que l’application naturelle Lie(G)(k)⊗kR →Lie(G)(R) est un isomorphisme.
Exercice 4. — Soit R un syst`eme de racines dans V, irr´eductible et de rang ≥ 2. On fixe un produit scalaire ( , ) sur V invariant par W = W(R) et pour tout x ∈ V on pose kxk=p
(x, x).
(1) On supposeRr´eduit. En utilisant la classification, montrer que l’ensemble des normes kαk, pour α ∈R, a au plus deux ´el´ements.
D´esormais, on suppose R non r´eduit. On dit qu’une racine α est indivisible si α/2 6∈ R et l’on note R0 l’ensemble de ces racines. On suppose de plus que les ´el´ements de R0 de longueur minimale sont de longueur 1.
(2) Montrer que R0 est un syst`eme de racines r´eduit dans V, que W(R0) = W(R), et que R0 est irr´eductible.
(3) Soit α∈R0 telle que 2α∈R. Montrer qu’il existeγ ∈R0 non proportionnelle et non orthogonale `a α. En utilisant la classification des syst`emes de racines de rang 2, montrer que kγk=√
2.
(4) Pour r = 1,√
2,2, on note Rr l’ensemble des racines de longueur r. Montrer que R =R1∪R√2∪R2 etR0 =R1∪R√2.
(5) Montrer que deux ´el´ements non proportionnels deR1 sont orthogonaux. En utilisant la classification des syst`emes de racines r´eduits, montrer que R0 est de type Bn.
(6) R´eciproquement, si (e1, . . . , en) est une base orthonorm´ee de V = Rn montrer que R = {±ei,±2ei | i = 1, . . . , n} ∪ {±ei ±ej | 1 ≤ i 6= j ≤ n} est un syst`eme de racines irr´eductible non r´eduit. On dit qu’il est de type BCn.
