ce qui amène à : m.¨zM+m.g+k.(zM −zC−m.g k )=−µ.(z˙M −z˙C) Soit ¨zM+ µ m.z˙M + k m.zM = µ m.z˙C+ k m.zC 4

1. La position d’équilibre d’un système avec frottement visqueux est identique à la position d’équilibre de ce même système sans frottement visqueux. En effet le système étant à l’équilibre,Ð→f =Ð→0

On considère alors le système en l’absence de frottements visqueux. Il est conservatif et la position d’équilibre est telle que dE_p

dl =0 (ici l est bien une grandeur caractéristique de l’état du système.) OrEp=E_p(pes)+E_p(el)=m.g.l+1

2.k.(l−l0)²+C^te On a donc à l’équilibre l=leq tel que dE_p

dl =0=m.g+1

2.2.k.(leq−l0), soit leq=l0−m.g k On vérifie quel_eq<l0, ce qui correspond bien à l’analyse physique.

2. On part de la configuration à l’équilibre et on tient compte de l’effet sur la longueur du ressort des déplacements des points M etC. :

l=l_eq+z_M(t) −z_C(t)

3. ✓ Ð→F =−k.(l−l0).Ð→e_z =−k.(z_M −z_C−m.g

k ).Ð→e_z ou E_p(el)= 1

2.k.(z_M−z_C−m.g k )²

✓ On peut utiliser le PFD ou le TPC. Je vais développer ici l’exploitation du TPC : dEm

dt =P^Ð→_{f nc}=−µ.(Ð→v(M) − Ð→v(C))⋅Ð→v(M)=−µ.(z˙M−z˙C).z˙M, ce qui donne : d

dt(1

2.m.z˙²_M+m.g.z_M+1

2.k.(z_M−z_C−m.g

k )²)=−µ.(z˙_M −z˙_C).z˙_M Avec d

dt(z˙²_M)=z˙_M.¨z_M et d dt(1

2.k.(z_M −z_C−m.g

k )²)=k.z.˙ (z_M −z_C−m.g

k ), ce qui amène à : m.¨z_M+m.g+k.(z_M −z_C−m.g

k )=−µ.(z˙_M −z˙_C) Soit ¨z_M+ µ

m.z˙_M + k

m.z_M = µ

m.z˙_C+ k m.z_C

4. On adopte la représentation complexe afin de résoudre le problème : (−ω²+j.ω.µ

m + k

m)z_M =(j.ω.µ m + k

m)z_C On a doncZM.e^iωϕ=

j.ω.µ m+ k

m

−ω²+j.ω.µ m+ k

m SoitZ_M =

√(2.σ.ω0ω)²+(ω0)²

√(ω0²−ω²)²+(2.σ.ω0ω.)²