SÉRIES DE FOURIER. EXEMPLES ET APPLICATIONS.

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�� SÉRIES DE FOURIER. EXEMPLES ET APPLICATIONS.

On noteT = R/2ﬁZ,en = e^in. pourn œ Z. On définit lorsque cela a un sensÈf | gÍ =

2ﬁ1 s2ﬁ

0 f(t)g(t)dtetÎfÎ1= Èf |fÍ.

I. Coe�icients et séries de

[Gou��, §�.�, p��–��] [QZ��, ChIV, p��]

F��

I. A. Séries trigonométriques et coe�icients de F��

Polynôme trigonométrique : polynôme en les(en)n, coe�icientscn, an, bn, liens entre les deux série trigonométrique, convergence normale dans certains cas

D��. [�� F��]

Pourf œL¹(T), on définitcn(f) = _2ﬁ¹ sﬁ

≠ﬁf(t) e^≠^intdt=Èf |enÍlen-ième coe�icient de F��def, oùnœZ.

Coe�icientsan(f), bn(f), nuls quandfest paire ou impaire

Par inclusion desL^p, le coe�icient deF��est défini sur toutL^p, lien avec le produit scalaire surL²

E��.

• ck(en) =”k,n

• Pourf =1_]≠_a,a[où0< a <ﬁ, on acn(f) =;

a/ﬁ sin= 0

sin(na)/nﬁ sinon .

• Pourf :x‘≠æ1≠^xﬁ²², on acn(f) =; 1 sin= 0

2(≠1)ⁿ

ﬁ²n² sinon .

P��. Pourf, gœL¹(T), on a : (i) cn(f) =c_≠n(f),

(ii) cn(·af) = e^inacn(f), (iii) f úen =cn(f)en,

(iv) sif œC(T)ﬂCpm¹ (T), on acn(f^Õ) =incn(f).

(v) cn(fúg) =cn(f)cn(g),

L��. [�� R��-L��]

Sif œL¹(T), alorscn(f) _n_æ+Œ≠æ 0.

F:C(T)≠æc₀(Z), f‘≠æ(cn(f))_nœZest linéaire, de norme1

I. B. Séries de F�� et noyaux trigonométriques

Série deF��associée àf

D��. [�� F��,��F��]

On appelle somme partielle de F�� d’ordre N œ N la quantité SN(f) = qN

n=≠Ncn(f)en.

On appelle somme partielle deF��d’ordreNœNla quantité‡N(f) =_N¹ qN≠1 n=0 SN(f).

R�� . Dans l’espace de H�� L², SN(f) est la projection sur P^N = Vect((en)_≠NÆnÆN).

Exemple : sifest un polynôme trigonométrique D��. [�� D��,��F��]

On appelle noyau deD��à l’ordreNœNla fonctionDN =qN n=≠Nen. On appelle noyau de F�� à l’ordre N œ N la fonction KN = _N¹ qN≠1

n=0 Dn = qN

n=≠N(1≠|n|/N)en.

P��. On a les propriétés suivantes : D�) SN(f) =fúDN,

D�) DNest pair etÎDNÎ1= 1, D�) ’xœT, DN(x) =^sin!_2N+1

2 x"

sin(x/2) ,

F�) ‡N(f) =fúKN, F�) ÎKNÎ1= 1,

F�) ’xœT, KN(x) = _N¹ ^sin_sin²2^{(N x/2)}(x/2) Ø0, F�) ’”œ]0,ﬁ],s

”Æ|t|ÆﬁKN(t)dt _N≠æ_æ+Œ 0.

II. Convergences des séries de F��

[QZ��, ChIV, p��] [Gou��, ChIV.�] [BMP��, Ch�.�, p��]

II. A. Convergence au sens de C��

T��. [�� F��]

• Soitf œ C(T). Alors Î‡N(f)Î_Œ Æ ÎfÎ_Œpour toutN Ø 1et‡N(f) = f ú

KN u

N≠ææ+Œ f.

• Soitf œ L^p(T)pour unpœ [1,+Œ[. AlorsÎ‡N(f)Îp Æ ÎfÎppour toutN Ø 1et limNæ+ŒÎ‡N(f)≠fÎp = 0.

Applications :

• sifest continue etSN(f)(x0)≠æ¸, alors¸=f(x0),

• sifest continue et siSN(f)converge uniformément alors elle converge versf,

ÉNS Paris-Saclay –��/�� AntoineB��–https://perso.ens-lyon.fr/antoine.barrier/fr/ Page��sur��

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Agrégation – Leçons ��– Séries deF��. Exemples et applications.

• théorème deW��

• injectivité deF :C(T)≠æc₀(Z), f ‘≠æ(cn(f))_nœZ. Exemple : fonction triangle

II. B. Convergence en moyenne quadratique

Inégalité deB��

T��. (en)nœZest une base hilbertienne deL²(T). En particulier, pourf œL²(T): f =q

nœZcn(f)en et ÎfÎ²L²=q

nœZ|cn(f)|² Applications :

• deux fonctionsL¹ayant mêmes coe�icients deF��sont égales p.p.

• convolution : sif œL², alorsf úf =q

ncn(f)²en

• Fest une isométrie bijective

Exemple : fonction signal : valeur au point limite1/2

II. C. Convergence ponctuelle et uniforme

[Bre��, II.�, p��–��] [Gou��, An. A, p��–��]

Contre-exemple sifn’est pas continue

T��. [�� B��-S��]

SoitEun espace deB��etFun espace vectoriel normé. Soit(ui)iœIune famille d’applications deL^c(E, F)simplement bornée (c’est-à-dire’xœE,sup_iœIÎui(x)Î Æ+Œ).

Alorssup_iœI|||ui|||<+Œ.

A��. Existence d’une fonction continue2ﬁ-périodique telle que sa série de F��diverge en�.

T��. [�� J��-D��]

SifestL¹(T)et telle qu’enx0elle admet limite à droite et à gauche, et sih=...est bornée au voisinage de0, alorsSN(f)(x0)≠æ ¹₂(f(x⁺₀) +f(x^≠₀))

C��. [�� D��]

Sif œC(T)ﬂCpm¹ (T), alors(SN(f))NœNconverge normalement versf.

III. Applications

III. A. Calcul de séries

[Gou��, §IV.�, p��] [QZ��, ChIV, p��]

A��. [�� ]

On peut reprendre l’Exemple�pour calculer les normes des applications dansL²: poura œ J0,2ﬁK:q

nœN^ú sin(na)

n = ^ﬁ≠a₂ (première fonction) etq

nœN^ú 1

n⁴ =^ﬁ₉₀⁴(deuxième fonction).

On peut aussi calculer classiquementq

nœN^ú 1

n² = ^ﬁ₆² etq

nœN^ú 1

(2n≠1)² = ^ﬁ₈².

III. B. Formule de P��

[Gou��, §IV.�/IV.�, p��/��] [FGN��, §�.��/��, p��–��]

P��. [�� P��]

Soitf :R≠æCune fonctionC¹telle quef(x) =O(1/x²)etf^Õ(x) =O(1/x²)en±Œ. Alors les sommes suivantes sont bien définies et on a :

’xœR,ÿ

nœZ

f(x+ 2nﬁ) = 1 2ﬁ

ÿ

nœZ

fˆ(n) e^inx oùfˆ(n) =⁄

Rf(t) e^≠intdt

A��. [�� J��]

Pours >0, (x) =q

nœZe^≠ﬁn²^svérifie (s) =^Ô¹_s (¹_s).

III. C. Equation de la chaleur périodique

[FGN��, §�.��, p��] [QZ��, §IV.VI.�, p��]

T��. [�� ]

Soitu0:R≠æRnon identiquement nulle,2ﬁ-périodique continue etCpm¹ . Alors il existe une unique solutionuœC⁰(R+◊R)ﬂC^Œ(R^ú+◊R)telle que :

; ˆtu=ˆ_xx² u surR^ú+◊R u(0, .) =u₀ surR

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Agrégation – Leçons ��– Séries deF��. Exemples et applications.

��

Fonction signal, triangle

��

Historiquement introduction pour l’étude des fonctions périodiques. Mais pas de réelle justifi- cation de la convergence des séries, ce que l’on voudrait étudier ici.

��

Attention à bien préparer les exemples, et à ne pas trop se disperser dans plusieurs livres avec plusieurs notations.

Ne pas justifier l’intérêt des séries deF��par le calcul de sommes (juste le signaler rapide- ment).

��

Q À quoi correspondSN(f)?

R C’est une projection sur l’espace vectoriel engendré pare_≠N, . . . ,eN. Q Pourquoi le noyau deF��fonctionne-t-il mieux que celui deD��?

Q SifestC⁰2ﬁﬂCpm¹ , a-t-on convergence normale de la série deF��? R On a puisquef^Õ œL²:

ÿ

nœZ

|cn(f)|=ÿ

nœZ

|cn(f^Õ)|

n Æ1 ÿ

n

|cn(f^Õ)|²21/2

(ÿ

n

1

n²)^1/2Æ1 ÿ

n

|cn(f^Õ)|²21/2

ÎfÎ²2

On en déduitq

|n|ØN|cn(f)|Æ ^2CÔÎ^f^ÕÎ2

N . On a mêmeq

|n|ØN|cn(f)|=o(1/Ô N).

Q Si l’on remplaceC¹parC^k, qu’obtient-on?

R On va trouvero(1/Ô

N^2k^≠1).

Q Soitf œC2ﬁ⁰ aveccn(f)œR+pour toutnœZ. A-t-on convergence deSN(f)?

R SiSN(f)(0) _Næ+Œ≠æ +Œ, alors‡N(f)(0) ≠æ

Næ+Œ +Œ: c’est absurde.

��

[BMP��] V.B��, J.M��et G.P��:Objectif Agrégation. H&K,�^èmeédition,��.

[Bre��] H.B��:Analyse fonctionnelle : théorie et applications. Dunod,��.

[FGN��] S.F��, H.G��et S.N��:Oraux X-ENS - Analyse�. Cassini,��.

[Gou��] X.G��:Les maths en tête - Analyse. Ellipses,�^èmeédition,��.

[QZ��] H.Q��et C.Z��:Analyse pour l’agrégation. Dunod,�^èmeédition,��.

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