Exercice 8

(1)

www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896 Exercice 8 « Fonction Exponentielle »

Exercice 8

On considère la fonction numérique f définie sur



^0;^



^{par :}

_{ } ^{ }

⁰

0 1

f x x ; xx

f

  

 



et

 

^C sa courbe représentative dans un repère orthonormé



^{O; i ; j}



1- Calculer _x^lim_ ^{f x}

 

2- Étudier la continuité de f à droite en 0.

3- a. Vérifier que :



^{ }^x

 

^{0 1}^;



^;

^{ }

¹ ^ln ¹ ^ln

ln f x ex x

x x x x

   

  

  .

b. Étudier la dérivabilité de la fonction f à droite en 0 et interpréter géométriquement le résultat obtenu.

4- a. Montrer que :



^{ }^x



⁰^;^

 

^; ^f^

^{ }

^x ^ ^{f x}

^{ }

^{1+ ln}^x

^

^.

b. En déduire le tableau de variations de f.

5- Déterminer la branche infinie de la courbe

 

^C ^.

6 - Tracer la courbe

 

^C ^.

Solution

   

0

0 1

f x x ; xx

f

  

 



1) Calculons : _x^lim_ ^{f x}

 

On a: _x^lim_ ^{f x}

 

^ _x^lim_^x^x

 lim_e^{x x}^ln  

x ( Car lim ln_x x 

x )

Donc : _x^lim_ ^{f x}

 

^{ }

2) Etudions la continuité de la fonction f à droite en 0:

On a: ^f

 

⁰ ^¹

Calculons: ^limx₀ f x

 

^lim₀

 

 ^lim₀ ^x

x f x x x

^ln

0

lim_e^{x x} 1

  

x ( Car

0

lim ln_x x 0

 

x )

Donc:

   

0

0 lim

x

f x f

 

d’où : f est continue à droite en 0.

3) a. On a :



^{ }^x

 

^{0 1}^;



^{f x}

^{ }

^f

^{ }

⁰ ^e^{x x}^ln ¹

x x

  

ln 1

ln ln ex x

x x x

  

 

 

(2)

www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896 b. Etudions la dérivabilité de f a droite en 0:

   

0 0

0 ln 1

lim lim ln

ln

x x

f x f ex x

x x x x

 

 

   

    

 

(Car

0

ln 1

lim 1

ln

x

ex x

 x x



  

 

  ; on pose t x xln donc x0^  t 0^ et

0

lim 1 1

t

et

 t



  

 

  )

D’où f n'est pas dérivable à droite en 0.

Interprétation géométrique:

La courbe de f admet une demi-tangente verticale dirigée vers le bas au point ^A

 

^{0 1}^; ^.

4) a. Montrons que:



^{ }^x ⁰



^; ^f^

 

^x ^ ^{f x}

 

^{1 ln}^ ^x



Soit ^x^



⁰^;^



^{, on a:} ^f

 

^x ^^e^{x x}^ln

La fonction: u : x x x est dérivable sur ln



^0;



, donc, la fonction x e^{x x}^ln est dérivable sur



^0;^



^{et on a:} ^f^

 

^x ^

 

^e^{x x}^ln ^{ }

^

^x^ln^x

^

^{ }^e^{x x}^ln

ln

 x x 1

 x

 

   

ln

ln 1 ln

ln 1

x x

e x e

x f x

 

 

 

 

  

Donc :



^{ }^x ⁰



^; ^f^

 

^x ^ ^{f x}

 

^{1 ln}^ ^x



Le signe de ^f^

 

^x est celui de



^{1 lnx}^



Donc le tableau de variations de f est le suivant x 0 1

e 

 

f x - 0 +

 

f x

1 

1

e^e 5) Déterminons la branche infinie de la courbe de f On a: _x^lim_ ^{f x}

 

^{ }, calculons

 

lim f x

 x

x

On a :

 

^ln

lim lim

f x ex x

x x

  

x x

ln

lim ln

ln ex x

x

x x

  

 

x (Car

ln

lim ln

x

ex x

 x x

 

  

  ; on pose tx xln donc x    t donc lim

t

et

 t

  

   et lim ln

x x

   )

D’où

 

lim f x

 x  

x

Alors la courbe de f admet une branche parabolique de direction l’axe des ordonnées au voisinage de

.

(3)

www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896 6 ) La courbe de la fonction f:

1 1

0 4. ;e ^e 0 7. e

  

 

 

 