D20148. Suspendu à la corde
On donne dans un plan un point P, un cercle (C) ne passant pas parP, et sur ce cercle deux points AetB. A toute cordeM N passant par P on fait correspondre le point Q, intersection de AM et BN. Déterminer le lieu de Q.
Solution
Soit T l’intersection des droites M N et AB. Pour traiter en une fois des diverses configurations, je vais travailler en valeur algébrique pour les seg- ments comme pour les aires de triangles ; ainsi AB+BA= 0, S(QAB) + S(QBA) = 0.
Si deux triangles ont leurs bases sur une même droite-support et le sommet opposé en commun, le rapport des aires est égal au rapport des bases.
S(QP A) = QA
M AS(M P A) = QA M A
M P
M TS(M T A) = QA M A
M P M T
AT
ABS(M BA)
= M P M T
AT
ABS(QBA) S(QP B) = QB
N BS(N P B) = QB N B
N P
N TS(N T B) = QB N B
N P N T
BT
BAS(N AB)
= N P N T
BT
BAS(QAB)
Pour tout point U du plan, je note p(U) =OU2−R2 la puissance de U par rapport au cercle (C) de centreO et de rayon R.
Alors M P·N P =P M·P N =p(P), indépendant de la cordeM N consi- dérée, et AT ·BT =p(T) =M T ·N T. On en tire
S(QP A)·S(QP B)
S(QBA)·S(QAB) = M P ·N P ·AT·BT AB·BA·M T ·N T S(QP A)·S(QP B) = p(P)
AB2 ·S(QAB)2
Chaque aire est fonction linéaire des coordonnées de Q. La relation ci- dessus est donc l’équation d’une conique. Cette conique appartient au faisceau défini par les deux coniques dégénérées :
– la droite AB, d’équation S(QAB) = 0, comptée deux fois ;
– les droitesP A, d’équationS(QP A) = 0, etP B, d’équationS(QP B) = 0.
Toutes les autres coniques de ce faisceau sont tangentes enA àP A et en B à P B.
A chaque position de la droite AM correspond une position de M, une position deM N, une position deBN, et donc une position deQsurAM. Cela signifie queQparcourt la totalité de la conique.
Les points à l’infini de la conique correspondent aux cas oùAM etBN sont parallèles. AlorsABN M est un trapèze isocèle, les cordesABetM N sont de même longueur, et donc tangentes à un même cercle (C0) de centreO. Si P est extérieur à (C0), les tangentesM N menées deP à (C0) déterminent deux points à l’infini réels : la conique est une hyperbole. SiP est sur (C0), la tangente enP à (C0) détermine un seul point à l’infini : la conique est une parabole. Si P est intérieur à (C0), les tangentes menées de P à (C0) sont imaginaires comme les deux points à l’infini qu’elles déterminent : la conique est une ellipse. SiP est enO, les tangentes sont les isotropes issues de O, elles coupent (C) aux points cycliques, qui sont aussi les points à l’infini de la conique : celle-ci est un cercle.
Enfin, dans le cas oùP est sur la droiteAB, la conique lieu deQest alors dégénérée enAB et la polaire ∆P de P par rapport au cercle (C).
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Remarque. Ce problème peut aussi donner lieu
– à la solution suivante par l’homographie, proposée par Jean-Nicolas Pas- quay : les points M etN étant en involution, les droites AM etBN sont en correspondance homographique. Selon une propriété classique, leur in- tersection Q décrit une conique propre Γ passant par A etB, sauf siAB se correspond à elle-même (cas oùP est surAB). La tangente à Γ enAest AP, car quandN tend vers A,N P M tend vers AP,AM aussi,BN tend vers BAetQ tend versAen restant sur AM; de mêmeP B est tangente en B à Γ ;
– à une construction de la tangente au point courant Q par application du théorème de Pascal : M N et M0N0 étant deux cordes voisines, dans l’hexagone M AM0N BN0, la droiteQQ0 contient l’intersection de M N0 et M0N, sur la polaire de P par rapport au cercle ; à la limite, la tangente en Q coupe M N sur cette polaire ;
– à la généralisation suivante : on y remplace le cercle (C) par une conique, ne passant pas nécessairement parAetB, et les droites issues deP par les tangentes à une autre conique (C0). Le lieu est alors une quartique dans le cas général,
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