D115-Les arbres le long de la route

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D115-Les arbres le long de la route

Solution

Question n°1

On utilise une propriété bien connue en géométrie sur les divisions harmoniques. Soient trois points A,B et C alignés dans cet ordre (avec AB=a < BC=b). Le lieu des points P du plan tels que PB est bissectrice de l’angle APB est le cercle (BB’) de diamètre BB’, les points

B’,A,B,C constituant une division harmonique caractérisée par le rapport BA/BC = B’A/B’C

= a/b.

On a B’B=2ab/(b-a). O étant le centre du cercle (BB’), ₁ O₁B=ab/(b-a). On note au passage que si TT’ est la perpendiculaire en A à BB’, TT’ est la polaire de C par rapport au cercle (BB’) et toute ligne passant par C et coupant le cercle en P et R et la polaire TT’ en Q , les points C,P,Q,R constituent également une division harmonique.

Avec quatre points A,B,C et D alignés (avec BC=c < CD=d), on considère une deuxième division harmonique C’,B,C,D caractérisée par le rapport CB/CD=C’B/C’D . On en déduit le cercle (CC’) de diamètre C’C=2bc/(c-b) et de rayon O₂C=bc/(c-b). Si les deux cercles (BB’) et (CC’) se coupent, le point d’intersection situé dans le demi-plan au dessus de la ligne ABCD est le point P duquel les trois intervalles AB, BC et CD sont vus sous le même angle.

On obtient la figure suivante :

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Soit α la mesure commune des angles APB, BPC et CPD. L’usage des identités

trigonométriques dans les triangles PHA, PHB, PHC et PHD permet d’établir la relation entre α et a,b et c :

c) b)(b c))/(a b

b(a (3ac ) (α

tg²       identité qui est définie si et seulement si le numérateur est positif c’est à dire 3ac>b(a+b+c).

A noter que :

- pour a>b>c, on a la même inéquation 3ac>b(a+b+c), - pour a<b et b>c, les deux cercles ne se coupent jamais et

- pour a>b et b<c, les deux cercles se coupent toujours quels que soient a, b et c.

- si deux intervalles adjacents sont égaux, il n’y a pas de solution, le point P étant rejeté à l’infini.

Exemples de triplets a,b,c sous forme d’entiers naturels .

La condition 3ac-b(a+b+c)>0 est représentée dans la colonne f(a,b,c)>0. Si la réponse est

« oui », il y a un triplet (a,b,c) qui répond à la question et l’angle αendegrésest mentionné en dernière colonne :

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Question n°2

Partant de l’équation tg²(α)(3acb(abc))/(a b)(bc), on cherche d’abord d entier naturel tels que tg²(α)(3bd-c(b+c+d))/(b+c)(c+d), d’où l’équation :(3ac-b(a+b+c))/(a+b) = (3bd-c(b+c+d))/(c+d) qui donne une équation linéaire en d dont la solution est

) b ac /(ab ac

d ²   ² qui a toutes chances d’être une valeur rationnelle de la forme

N(d)/D(d). Les valeurs entières de a,b,c,d s’obtiennent en multipliant par le dénominateur de la fraction irréductible qui exprime d. Puis on poursuit le processus avec tg²(α)(3ce- d(c+d+e))/(c+d)(d+e) (3bd-c(b+c+d))/(b+c) = (3ce-d(c+d+e))/(d+e)

ebd²/(bcbdc²)… Bien entendu ce processus ne peut se poursuivre que si à chaque nouvelle étape, les valeurs calculées sont strictement positives.

Le tableau ci-après donne des quadruplets (a,b,c,d) pour les premières valeurs entières possibles de a, b et c (a<b<c).

a b c f(a,b,c)> 0

1 2 7 oui 0,0370 10,89

1 2 8 oui 0,0667 14,48

1 2 9 oui 0,0909 16,78

1 2 10 oui 0,1111 18,43

1 3 11 non

2 3 6 oui 0,0667 14,48

2 3 7 oui 0,1200 19,11

2 3 8 oui 0,1636 22,02

3 4 5 non

3 4 6 oui 0,0286 9,59

3 4 7 oui 0,0909 16,78

4 5 6 non

4 5 7 oui 0,0370 10,89

4 5 8 oui 0,0940 17,05

5 6 7 non

5 6 8 oui 0,0390 11,17

5 6 9 oui 0,0909 16,78

5 6 10 oui 0,1364 20,27

6 7 8 non

6 7 9 oui 0,0385 11,10

6 7 10 oui 0,0860 16,34

) (α

tg² α en degrés

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Le quadruplet (2,3,6,24) n’a pas de successeur car e<0. A l’inverse (8,10,15,30) donne (8,10,15,30,120) et (5,7,12,30) donne (5,7,12,30,350). Le tableau ci-après montre ce que deviennent la plupart des quadruplets précédemment calculés :

Jusqu’à présent on s’est attaché à déterminer les n-uplets dans lesquels les entiers

a,bc,d,…vont en croissant. Il en existe d’autres dont le profil des valeurs entières est en U.

Pour les identifier, on va partir des n-uplets déjà établis en cherchant des valeurs rationnelles inférieures au 1^er terme du n-uplet considéré. Une formule de récurrence entre deux termes consécutifs va faciliter les calculs.

Quand n devient grand, l’angle α devient de plus en plus petit et tg²(α)0. Dès lors il est naturel de poser tg²(α)=p/q avec p et q entiers, p prenant des valeurs très petites (1 et 2 par exemple) tandis q prend des valeurs de plus en plus grandes .

Par ailleurs, on pose :

a b c N(d) D(d) (a,b,c,d) f(a,b,c)> 0

1 2 7 < 0 < 0 oui 0,0370 10,89

1 2 8 < 0 < 0 oui 0,0667 14,48

1 2 9 < 0 < 0 oui 0,0909 16,78

1 2 10 < 0 < 0 oui 0,1111 18,43

2 3 6 72 3 (2,3,6,24) oui 0,0667 14,48

2 3 7 98 1 (2,3,7,98) oui 0,1200 19,11

2 3 8 < 0 < 0 oui 0,1636 22,02

3 4 6 108 10 (15,20,30,54) oui 0,0286 9,59

3 4 7 147 7 (3,4,7,21) oui 0,0909 16,78

3 4 8 192 4 (3,4,8,48) oui 0,1429 20,70

4 5 7 196 17 (68,85,119,196) oui 0,0370 10,89

4 5 8 256 13 (52,65,104,256) oui 0,0940 17,05

4 5 9 324 9 (4,5,9,36) oui 0,1429 20,70

5 6 8 320 26 (65,78,104,160) oui 0,0390 11,17

5 6 9 405 21 (35,42,63,135) oui 0,0909 16,78

5 6 10 500 16 (20,24,40,125) oui 0,1364 20,27

5 7 12 720 24 (5,7,12,30) oui 0,0526 12,92

5 7 14 980 14 (5,7,14,70) oui 0,1111 18,43

6 7 15 1350 1 (6,7,15,1350) oui 0,2587 26,96

7 8 12 1008 36 (7,8,12,28) oui 0,1200 19,11

7 9 16 1792 32 (7,9,16,56) oui 0,1200 19,11

8 10 15 1800 60 (8,10,15,30) oui 0,0667 14,48

8 12 21 3528 72 (8,12,21,49) oui 0,0182 7,68

) (α

tg² α en degrés

a b c d e (a,b,c,d,e)

2 3 6 24 < 0

3 4 7 21 < 0

3 4 8 48 < 0

4 5 9 36 < 0

4 5 10 80 < 0

5 6 11 55 < 0

5 7 12 30 350 (5,7,12,30,350)

5 7 14 70 < 0

7 8 10 14 392/ 17 (119,136,272,238,392)

7 8 12 28 392 (7,8,12,28,392)

7 9 16 56 < 0

8 10 15 30 120 (8,10,15,30,120)

8 12 21 49 1372/ 5 (40,60,105,245,1372)

13 15 21 39 2535/ 19 (247,285,399,741,2535)

(5)

- u_n_₁ b/a - u_n c/b

La relation tg²(α)(3acb(abc))/(a b)(bc) permet d’écrire u_n_₁= 1)]

q)(u [(p / q)]

(p p)u -

[(3q _n   _n ou bien u_n [(pq)(u_n_₁1)] / [3qp(pq)u_n_₁]. Prenons l’exemple p=1 et q=15 qui correspond au quadruplet (2,3,6,24). L’objet est de trouver des valeurs rationnelles <2 . On pose u =3/2 obtenu avec c=3 et b=2 ; il en résulte _n

1

un_ = 5/4 a = 8/5, ce qui donne le quintuplet (8,10,15,30,120) qui a déjà été identifié. On continue le processus en posant u =10/8=5/4, il en découle _n u_n_₁= 13/12 a = 96/13, ce qui donne le sextuplet (96,104,130,195,390,1560). On poursuit encore en posant

u =104/96=13/12, il en résulte n u_n_₁= 19/20, ce qui donne un 1^er terme>2^ème terme dans le 7- uplet (1920, 1824, 1976, 2470, 3705, 7410, 29640) qui donne à l’étape suivante le 8-uplet qui amorce bien une forme en U : (99840, 82560, 78432, 84968, 106210, 159315, 318630, 1274520) …. Le processus s’interrompt quand le kième terme calculé devient négatif.

Autre exemple, en partant de (4,5,9,36) on obtient le 8-uplet (342720, 24480, 10800, 7560, 7140, 8925, 16065, 64260)