Sulla Henselizzazione di anelli di valutazione e di anelli di Prüfer

R ^ENDICONTI

del

S ^EMINARIO M ^ATEMATICO

della

U NIVERSITÀ DI P ^ADOVA

R ^OSARIO S ^TRANO

Sulla Henselizzazione di anelli di valutazione e di anelli di Prüfer

Rendiconti del Seminario Matematico della Università di Padova, tome 52 (1974), p. 167-183

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e

di anelli di Prüfer.

ROSARIO STRANO

(*)

Introduzione.

In

questo

lavoro studiamo l’henselizzazione

degli

anelli di valuta- zione e

degli

anelli di Prùfer con

particolare riguardo

alla permanenza, sia nella salita che nella

discesa,

^{di alcune}

proprietà

di tali anelli.

Nel ^n. 1 dimostriamo che 1’henselizzazione di un anello di valuta- zione A

rispetto

^{a un suo}

qualunque

^{ideale è ancora un} anello di valu- tazione che ha lo stesso gruppo dei valori di

A,

estendendo un risul- tato di

Nagata (vedi [9]

^{teor. 8 e teor.}

15).

Nel n. 2

proviamo

^che l’henselizzazione di un anello di valutazione A

rispetto

^{a un suo ideale m è}

perfettamente

individuata dall’henseliz- zazione dell’anello locale

viceversa; esprimiamo poi

i risultati ottentuti facendo uso della nozione di corpo valutato henseliano.

Il n. 3

comprende

^{i risultati}

più importanti.

^{In esso} dimostriamo che 1’henselizzazione B ⁼

h(A, m)

^{di un} anello di Prùfer A

rispetto

a un ideale m soddisfacente alla condizione che

8pec(A/m.)

^{sia con-}

nesso, è ^{ancora un} anello di Prùfer nel

quale ogni

ideale è l’esteso di

un ideale di A . Come conseguenza di

questo

^{fatto si}

ha,

^tra

l’altro,

che Pomomori smo canonico tra i

gruppi

di Picard di A e di B è suriet- tivo _e,

quando

^{m c Rad}

A,

^{è un} isomorfismo.

Applichiamo

^{altres i}

risultati ottenuti ad alcuni casi

particolari

di anelli di Prùfer.

Nel n. 4 mettiamo in relazione

gli

^{anelli di} valutazione henseliani

(*)

Indirizzo dell’A.: Seminario Matematico - Corso Italia, 55 - Catania.

Lavoro

eseguito

nell’ ambito dei

gruppi

di ricerca del C.N.R.

con

quelli cornpleti :

^{troviamo che} 1’henselizzazione di un anello di valu- tazione

completo

^non è necessariamente

completa (tranne

^{nel caso}

che l’anello di valutazione abbia rango ¹ nel

qual

^{caso un anello di}

valutazione

completo

è pure

henseliano) .

^La

completezza

^{non si con-}

serva nemmeno nella discesa cioè esistono anelli di valutazione non

completi

la cui henselizzazione è

completa. ^È

^vero invece che se un

anello è henseliano il suo

completamento

è pure henseliano.

Tutti

gli

^{anelli sono}

supposti

commutativi e con elemento unità.

Per tutte le nozioni che non definiamo rimandiamo a

[1].

1. In

questo

^numero studiamo 1’henselizzazione di un anello di valutazione A

rispetto

^{a un suo ideale m. Per} la definizione e le

princi- pali proprietà riguardanti

l’henselizzazione di una

coppia (A, m)

^{con m}

ideale di A rimandiamo a

[5].

Il risultato cui

perveniamo

è enunciato nel teorema 1. Dimostriamo

dapprima

^due

proposizioni.

PROPOSIZIONE 1. Sia 99: A - B ^un

omomor f ismo di

anelli tale che B sia ^una

A-algebra fedelmente piatta.

^{Se B è un anello} di valutazione allora A è di valutazione.

DIM. Poichè

l’omomorfismo 99

è iniettivo allora A è un dominio.

Detto

KA

il corpo delle frazioni di A è

gA

^{n B = A e}

quindi

^da

x E KA,

segue da cui x-1 E B e

quindi

PROPOSIZIONE 2. Sia A un anello locale ^e B ⁼

h(A, m)

^{con 1~t ideale}

di

A;

^{allora B è un} anello locale ed è hA ⁼ hB cioè A e B hanno la stessa henselizzazione come anelli locali. Inoltre se A è un dominio inte-

gralmente

chiuso anche B lo è.

DiM. Sia C una N-estensione

semplice

^di

(A, m) (per

^{le nozioni}

di

N-polinomio

^e di N-estensione vedi

[5]

^{def. 1.2 e def.}

2.2);

^{allora è}

chiaro che C è una N-estensione

semplice

^di

(A, p) dove p

è il massi- male di A e

quindi

per

[5]

lemma 7.3 si ha hA = hB. La seconda af- fermazione segue dal fatto che se A è un dominio

integralmente

^chiuso

allora hA è ^un dominio

integralmente

^chiuso

(vedi

^p.e.

^[10]

^pag.

180)

e dal fatto che hB è una

B-algebra

fedelmente

piatta.

TEOREMA 1. A un anello e

B = h(A, m)

^{con m} ideale di A.

a)

^{Se B è} di walutazione ed m c Rad A allora A è di valutazione.

b)

^{Se A è di} valutazione allora B è di valutazione.

c)

^{Se A e B sono} di valutazione

rispettivamente

^con corpo delle

frazioni .gA

^c

.KB

^e vA

(risp. VB)

^{è una} valutazione di

KA (risp. KB)

di anello A

(risp. B)

allora vA è

equivalente

alla restrizione di VB a

KA

^{e detti}

FA

^c

rB i rispettivi gruppi

dei valori è

FA

⁼

FB.

DIM,

a)

segue dalla

proposizione

^{1. Per} provare

b)

^e

c) poniamo

D ⁼

hA;

^{è noto}

(vedi ^[9]

^{teor. 8 e teor.}

¹⁵⁾

^{che D è un} anello di valuta- zione e detto

rD

^il gruppo dei valori di ^D è

rA

⁼ Ne segue al-

lora,

per le

proposizioni

^{1 e}

2,

che B è di valutazione ^e dalla relazione segue

COROLLARIO 1. Sia A un anello di valutazione e B ⁼

h(A,

^{con m}

ideale di A. Allora per

ogni

elemento b di B esiste a di A tale che aB = bB.

DiM.

Segue

subito dalla condizione

FA

⁼

rB .

2. Sia A un anello di valutazione ed m un ideale di

A ;

^osserviamo

anzitutto che è un ideale

primo (vedi [3]

cap. VI par. ^{7 n. 2} lemma

2).

In

questo

^numero facciamo vedere che l’anello B ⁼

h(A, m)

^è

perfet-

tamente determinato dall’henselizzazione dell’anello locale

Ajz e

viceversa.

Dopo

^aver richiamato la definizione di corpo valutato ^hen-

seliano, esprimiamo

i risultati ottenuti in termini di

corpi

^valutati.

Osserviamo intanto che è

h(A, ~xt) = h(A, (vedi [5]

prop.

8.6)

e

quindi

ⁱⁿ

questo

^numero supporremo sempre ^{che m sia un ideale}

primo

^{di A.}

TEOREMA 2. Sia A un anello di valutazione ed m un suo ideale

primo.

Si ha che

(A, m)

^{è una}

coppia

henseliana ^{se e} solo se

Am

^{è un anello}

locale henseliano.

DIM.

È

noto che

(vedi [4]

^cor.

6.8)

^{se A è un dominio}

integral-

mente chiuso ed m è un suo ideale

primo,

^{m c}

Rad A,

^{allora se}

Am

è henseliano allora

(A, m)

^{è una}

coppia

henseliana. Proviamo adesso il viceversa

nell’ipotesi

^{che A sia un} anello di valutazione.

Per

[9]

^{teorema 3} basta provare ^che

ogni

dominio intero su A pos- siede ^un solo

primo

al di sopra di ^m.

Supponiamo

^{che ciò non sia vero}

e sia R un dominio intero su A che abbia almeno due

primi

~t1 ^e m2 al di sopra di ^m. Facciamo vedere anzitutto che si

può

supporre che il corpo delle frazioni ^H di .R sia normale ^e

separabile

sul corpo delle frazioni .K di A ed 1~

integralmente

chiuso. Infatti ^se I~’ è la chiusura

integrale

di R nella estensione normale di ^K

generata

^{da H è noto}

che per

ogni primo

^{di R esiste un}

primo

^{di 1~’} al di sopra di esso ; pos- siamo

quindi

supporre H normale e R

integralmente chiuso ;

^{sia ora H}

la chiusura

separabile

^{di g in H e}

poniamo

^{R =} si ha che per

ogni primo Q

^{di R esiste uno e un sol}

primo

q di R al di sopra

di ~ (vedi ^[3]

^{cap. V par. 2 n. 3 lemma}

4) .

Sia a un elemento di in, che non sta in m2 ^e sia L l’estensione finita normale

separabile generata

^{da a su K e sia A’ la chiusura}

integrale

di A in

.L; proviamo

^{che A’}

possiede

almeno due

primi

al di sopra di m: infatti sia or un automorfismo di .H su .~ tale che

G(m2)

⁼ xr~1

(vedi [10]

^teor.

10.12) ;

^allora

^a(a)

^{E A’ e}

^quindi

^{xrtl n}

^{A’ #}

Siano

xttó, m[ ,

^{... ,}

xrtn

ⁱ

primi

distinti di A’ al di sopra di ^m. Sia G il gruppo di Galois di . ^su

;

^{come è} noto si definisce gruppo di decom-

posizione

^di

^{m’ =} tó

^il

sottogruppo

^{G’ di G cos definito:}

si definisce

poi

l’anello di

decomposizione A

^e il corpo di

decomposi- zione k

di nt’ come segue

Si

ha A

^{= A’ n}

ÌÉ e A

è la chiusura

integrale

^{di A in}

g.

Sia

p’

^{un massimale}

^{d.i À}

^{che contiene}

A ;

^allora

p’

^{non con-}

tiene nessun

primo (1 c ~ c n) perchè

^{è un} anello di valu- tazione

(vedi [11]

pag. 158 ^cor.

4);

allora si ha

e

quindi

^{esiste un elemento tale che}

a 0 p’,

^r

(1 c j c n) .

Per

[9]

^{lemma 2 a è una radice di un}

polinomio

^monico irriducibile

con a2, ..., an Em, a~ ^E

A,

^{a~ =}

A);

^{è allora}

essendo p =

=

p’

^r1 A il massimale di A e ciò è contro

l’ipotesi

^che

(A, m)

^{sia una}

coppia

henseliana : infatti il

polinomio

di cui sopra si

decompone,

^mo-

dulo m, in due fattori monici e

coprimi.

TEOREMA 3. Sia A un anello di valutazione ed 1xt un suo ideale

primo.

Posto B ⁼

h(A,

^{si ha}

BmB = h(Am).

Dim. Per il teorema 2

BmB

^{è un} anello locale henseliano e

quindi

esiste un omomorfismo

f : h(Am) -+ BmB

che fa commutare il

diagramma

Consideriamo ora

gli

omorfismi di

coppie

Si ha che esiste un omomorfismo

che fa commutare il

precedente diagramma.

Dal fatto che

ogni

^ideale

principale

^{di B è}

generato

^{da un elemento}

di A segue ^che

gli

elementi di B - mB hanno _per

immagine

^elementi

invertibili in

h(Am)

^ed

inoltre q

è iniettivo. Ne segue allora

che f{J

induce un o’momori smo locale e iniettivo

l’omomorfismo g

è tale che nel

diagramma

sia

gai

^{= ma essendo i} cancellabile a destra segue ga ⁼

~8.

Consideriamo adesso

g f : h(Am) -~ ~(Am) ;

^{esso fa commutare il dia-}

gramma

e

quindi g f

^è l’identità in

h(Am)

^da cui segue ^che g è suriettivo ^e

quindi

la tesi.

Richiamiamo adesso la definizione di corpo valutato henseliano

(vedi [11]

cap.

F).

DEFINIZIONE 1. Un corpo valutato

(K, v)

si dice henseliano se v

ammette un unico

prolungamento

^ad

ogni

estensione

algebrica

^{di K.}

Da

[11]

^{teor. 4} pag.

185,

segue subito ^{che un} corpo valutato

(K, v)

è henseliano se e solo se l’anello della valutazione v è un anello locale henseliano.

Si ha

poi (vedi ^[11]

^pag.

175)

^{che ad}

ogni

corpo valutato

(K, v)

si

può

associare la sua henselizzazione

(hg,

confrontando la costru- zione dell’henselizzazione di un corpo valutato

(K, v)

^con

quella

^del-

1’henselizzazione di un anello locale

(vedi [10]

pag.

180)

^{si ha subito}

che l’anello della valutazione hv di hK è l’henselizzazione hA dell’anello della valutazione v.

Si ha allora il

seguente

^teorema.

TEOREMA 4. ~Sia A un anello di

valutazione,

^{B =}

h(A, m)

^{con m}

ideale

primo

di A. ~Siano

KA

^{c i}

rispettivi corpi

^delle

frazioni.

^Se VA

(risp. VB)

^{è una} valutazione di

KA (risp. KB)

di anello A

(risp. ^B)

^{si ha :}

a)

^{se v è una} valutazione di

KB

^{di anello}

BmB

^allora

(KB, v)

^{è hen-}

seliano ;

b) v)

è l’henselizzazione di

(KA, v/gA)

^{dove è la restri-}

sione di v a

KA

^{ed ha come anello}

A,n;

c)

^{se w è una} valutazione del corpo di anello allora la valutazione VB di

KB

^è

equivalente

^alla

composizione

^della

valutazione v con la valutazione w.

DIM.

a)

^e

b)

seguono

rispettivamente

dai teoremi 2 e

3; c)

segue dal fatto che e

quindi

^il corpo coincide col corpo residuo di ^v.

3. In

questo

^{numero studiamo} l’henselizzazione di un anello di Prüfer. Richiamiamo alcune definizioni.

DEFINIZIONE 2. Un dominio A si dice ^un anello di

Prüfer

^se

A~)

^è

un anello di valutazione per

ogni

^ideale

massimale p

^{di A.}

DEFINIZIONE 3. Un dominio A si dice un anello

quasi-Dedekind

se

A)

^{è un} anello di valutazione noetheriano per

ogni

^ideale

massimale p

di A.

DEFINIZIONE 4. Un dominio A si dice ~cn anello di Dedekind se A

è

un anello di

Prüfer

noetheriano,

PROPOSIZIONE 2 . Sia A -~ B ~cn

omomor f ismo

di anelli tale che B sia una

A-algebra fedelmente piatta.

^{Se B è un anello di}

Prüfer (risp.

quasi-Dedekind, Dedek’ind)

allora A è di

Prüfer (risp. quasi-Dedekind, Dedekind).

DIM. Poichè ffJ è iniettivo A è ^un dominio.

Sia p

^un massimale di

A ;

esiste allora un

massimale p

di B tale r1

A ;

si ha allora un

omomorfismo

Ap-+ B.

^e

BP

^{è una}

Ap-algebra

fedelmente

piatta.

^Per

la

proposizione

^{1 se}

Bp

è di valutazione anche

Ap

è di valutazione e

quindi

^{se B} è di Prüfer anche A è di Prüfer. Osservando

poi

^{che la}

noetherianità discende per fedele

piattezza

segue la

proposizione.

TEOREMA 5. Sia A un anello e B ⁼

h (A, m)

^{con m ideale di A. Si ha :}

a)

^{Se B è un anello di}

Prüfer (risp. quasi-Dedekind, Dedekind)

ed è m c Rad

A,

allora A è un anello di

Prú f er (risp. quasi- Dedekind, Dedekind) .

b)

^{Se A è un} anello di

Prüfer (risp. quasi-Dedekind, Dedekind)

e

Spec (A/xxt)

^{è connesso} allora B è di

Prüfer (risp. quasi-Dede- kind, Dedekind) .

DIM.

a)

segue dalla

proposizione

^{3. Per} dimostrare

b)

^osserviamo

intanto

che,

per

[8]

^cor.

2 .12,

si ha che B è un

dorninio ;

la tesi segue allora dal teorema 1

applicando [5]

^{cor. 6.9 e cor. 7.5.}

OSSERVAZIONE 1.

L’ipotesi Spec(A./m.)

^{connesso » è} necessaria af- finchè B sia un dominio e non

può

^essere soppressa. Infatti

Spec(A/m)

è connesso se e solo se

Spec

^{B è connesso}

(vedi ^[5]

^lemma

9.1).

Il resto del

presente

^numero è dedicato alla dimostrazione del suc-

cessivo teorema 6 nel

quale proviamo

^{che se A è un} anello di Priifer

e

Spec(A/xrt)

^{è connesso allora}

ogni

ideale di B ⁼

h(A, m)

^{è l’esteso di}

un ideale di A. Dal teorema 6 dedurremo

poi

^{alcuni corollari.}

Premettiamo alcuni lemmi.

LEMMA 1. A un

anello,

^{xrt c Rad}

A,

^{C una} N-estensione sem-

plice

^di

(A, m)

^e

sia p D

^{m un}

primo

di A. Allora

.p0

^{è un}

primo

^{di 0}

al di sopra di

p.

DIM. Dal fatto che 0 è una

A-algebra

fedelmente

piatta

segue che esiste un

primo

q di C al di sopra di

p.

Dall’isomorfismo

C/xxtC

segue

poi pC =

q.

LIEMMA 2. ~Sia A un

anello,

^{nt c Rad}

A,

^{C una} N-estensione sem-

plice

^di

(A, m).

^Siano

.p

^e

}2

due massimali di A e

poniamo

^{S = A -}

- U

.p2)

^e

^s’=

^{C -}

(p,

^{0 U}

} C) .

^Allora

Os,

^{è una} N-estensione sem-

plice

^di

(As, mAs).

DIM. Sia

f(X) l’N-polinomio,

^di

grado

n &#x3E;

1,

^{che definisce}

0;

^al-

lora

f(X)

^{è un}

N-polinomio

^di

(As, mAs)

ed indichiamo con D l’N- estensione

semplice

^di

(As, xrtAs)

^{definita da}

f (X ) .

^Posto

si ha

Consideriamo

gli

^ideali

(~1, x) A[x]

^e

(~2 , x) A[x]

^di

A[x] :

^{si vede su-}

bito che essi sono ideali massimali di

A[x]

al di sopra

rispettivamente

di

~1

^e

p,.

^Poniamo

e facciamo vedere che D e

C.,

^sono entrambi isomorfi ad Per provare che D è isomorfo ad

A[x]T poniamo

^{U = 1}

⁺ (m,

si ha D = per ^{una nota}

proprietà (vedi ^[2]

cap. II par. ²

n.

3,

prop.

7),

essendo S c T è

A[x],= (As[X])T’

^{dove T’ è l’imma-}

gine

^{di T} nell’omomorfismo

A[x] quindi

^{D e}

A[x]T

^{sono i}

localizzati di mediante

rispettivamente

^{U e T’.}

Poichè

gli

elementi di T sono del

tipo

^ao + + ^...

+

^{xn-1 con} segue subito che le

immagini degli

elementi di T’ nell’omomor- fismo

(As[z]) u

^sono invertibili e le

immagini degli

^{elmenti di U}

nell’omomorfismo sono invertibili e

quindi D ~

Per provare che

Os,

è isomorfo ad

poniamo

^{V = 1} +

(m, x) ~ -A[x];

^{si ha}

°s’= (A[x]y)s’

^e dove T" è

l’immagine

di T nell’omomorfismo La dimostrazione è allora ana-

loga

^alla

precedente.

LEMMA 3. A un anello di

Priifer.

^Allora:

a)

^{l’insieme dei}

primi

contenuti in Rad A è linearmente ordinato per inclusione.

b)

^{l’insieme dei}

primi

contenuti in Rad A ha un

(unico)

^elemento

massimo.

Drnz.

a) sia p

^{un ideale massimale di}

A;

^{è noto che c’è una corri-}

spondenza

^{1-1 che conserva} l’inclusione tra i

primi

^di

A~

^{e i}

primi

^{di A}

contenuti

in p; poichè A~

^{è un} anello di valutazione segue la tesi.

b)

infatti l’unione di ^un insieme linearmente ordinato di ideali

primi

di A è ancora un ideale

primo

^{di A.}

LEMMA 4. Sia A ^un anello di

Prúfer semilocale,

^{t c Rad}

A,

^e

sia P

il massimo

primo

^{contenuto in Rad A. Allora}

Spec(Ajm)

^è connesso se e solo se

DiM. Sia connesso. Se fosse

seguirebbe

^{che non}

ci sono

primi

^{di A tra m e Rad A e}

quindi Spec(A/xm)

⁼

Spec(A/RadA)

non sarebbe connesso.

Vicevessa sia Sia _q ^un

primo

^{di A e}

supponiamo

detto

q’

^un massimale di A contenente q è anche

q’ D p,

^{ed essendo} l’insieme dei

primi

di A contenuti in

q’

linearmente ordinato per in- clusione

segue p D

4. Consideriamo allora

VM-:

^è

con p D

^ma

poichè

l’intersezione di un insieme linearmente ordi- nato di ideali

primi

^{è un ideale}

primo

segue ^che

vm

^è

primo

^e

quindi

= è connesso.

LF,mmA 5. Sia A un anello di

Pri f er,

^{m c Rad}

A, Spe(Am)

^con-

nesso, ^e sia 0 una N-estensione

semplice

^di

(A, r~t.) .

^Sia

.p~

^{un massimale} di A e

poniam,o 8 = A - p, - -k

^allora

Cs

⁼

DiM. Basta provare che

Cs

^{è locale.}

^È

^{noto che i} massimali di

Cs

sono

gli

estesi dei

primi

^{di C che sono} massimali fra

quelli

^{che non}

incontrano ~’. Uno di tali

primi

^è

pi

^{C e}

quindi p, cs

è massimale in

Cs ;

sia q ^un altro di tali

primi

^e sia Q1= a ⁿ A c sia

.p2 O

^un

massimale di C che contiene q. ^Per il lemma 2

possiamo

supporre che A abbia i due soli massimali

~1

^e

~2 .

Proviamo adesso che q1 ^c

n V2

è massimale fra i

primi

di A contenuti in

~&#x3E;~

^r1

V2;

^{infatti è} noto che è una N-estensione

semplice

^di

(ciò

segue anche dal lemma 2 per

VI = p,)

^{ed un anello di} valutazione e

quindi,

ap-

plicando

^{il teorema}

1,

segue ^che c’è una

corrispondenza

^{1-1 tra i}

primi

di A contenuti in

p,

^{e i}

primi

^{di C} contenuti in

p,C;

si ha allora

che, se p

^{fosse un}

primo

^{di A con} al

c p

^c

~1

ⁿ

V2,

esisterebbe un

primo p’

di C tale che ed inoltre

Per il lemma 4 si ha m. Dal lemma 1 segue allora che l’ideale _al C è un

primo

^{di C tale che e} per lo stesso motivo di sopra è allora q ⁼ al C da cui segue q ⁼ qui C ^c

~1

^{C e}

qundi

è

TEOREMA 6. ÀÒia À un anello di m un ideale di A con connesso e B ⁼

h(A, m).

^{Si ha allora:}

a)

^Per

ogni

^{ideale b di B esiste un ideale a} di A tale che b ⁼ aB.

b)

^{Se b è}

principale

^{allora a è}

principale.

Drnz.

a)

^Se consideriamo si ha che c Rad ed

ogni

^{ideale di l’esteso di un ideale di}

A; possiamo quindi

sup- porre

m c Rad A.

Possiamo ancora supporre ^{che b sia un ideale}

prin- cipale

^{bB di B.}

Sia C una N-estensione

semplice

^{di e}

supponiamo

^{di aver}

dimostrato che

ogni

ideale di C sia l’esteso di un ideale di

A ;

segue allora che se C è una N-estensione di

(A, m)

^allora

ogni

ideale di C è l’esteso di un ideale di

A;

^{sia ora b E B e sia C una} N-estensione di

(A, m)

che contiene

b;

esiste allora un ideale a di A tale che aC = bC

e

quindi

^{aB = bB.}

Possiamo

quindi

supporre che ^B sia una N-estensione

semplice

di

(A, x~t.) .

Proviamo che per

ogni massimale p

^{di A è}

da cui segue

(vedi [1]

prop.

3.9).

Per il corollario 1 l’ideale è

generato

^{da un} elemento di

A~

e

quindi possiamo

porre

con aEA.

È

allora a = bc con

e c- B:p,

invertibile.

Per il lemma 5

possiamo

^scrivere

c = r/s, s E A -.p.

^Allora

è as ⁼ br E bB e

quindi

^{as E bB r1}

A ;

^{inoltre è =}

asBPB e ^quindi

segue

e

quindi a)

^è

provato.

Per dimostrare

b)

osserviamo

che,

^{essendo B una}

A-algebra

^fedel-

mente

piatta (possiamo

^{anche in}

questo

^caso supporre ^{m c Rad}

A)

e aB = b un B-modulo finitamente

generato,

segue che ^a è un A-modulo finitamente

generato.

^Da segue

poi

ma è

generato

^{da un} solo elemento come

-S/mB-modulo

^e

^quindi

come

A/xrt-modulo

^e

quindi

^{come A-modulo.}

Applicando

il lemma di

Nakayama

all’A-modulo finitamente gene- rato a segue subito ^{che a} è

principale.

OSSERVAZIONE 2. Il teorema 6 non vale

più

^{se si}

toglie l’ipot,esi

che A sia un anello di

Priif er,

^{come mostra il}

seguente esempio:

^sia

A ⁼

K[X, Y](x,y)

^{dove .g è un} corpo ; è ^noto che hA è il sottoanello di

Yj

costituito dalle serie formali che sono

algebriche

^su

K(X, Y)

(vedi ^[10]

^cor.

44.3).

Consideriamo l’ideale

a = (X3 -f- y2 -f- X y) ~ ;

esso è

generato

^{da un} elemento irriducibile di A. e

quindi

^è

primo;

l’esteso a hA non è

più primo

ⁱⁿ

quanto

l’elemento

X3 +

^è

riducibile in hA .

COROLLARIO 2. Sia A un anetlo di

Prüfer,

^{m. c Rad}

A, Spec(A/m)

connesso e sia B ⁼

h(A, m).

^{Si ha allora:}

a)

^Le

applicazioni

stabiliscono una biiezione

fra gli

ideali di A e

gli

ideali di B.

Tale biiezione induce una biiezione

fra

ⁱ

primi

^{di A e}

quelli

di

B,

^come pure ^una biiezione

fra gli

^ideali

principali

^{di A e}

quelli

^{di B.}

b)

^Per

ogni famiglia

di ideali di A si ha

Dim.

a) Bisogna

solo provare che

se p

^{è un}

primo

di A allora

pB

è un

primo

di B. Infatti

poichè

^{B è una}

A-algebra

fedelmente

piatta

esiste un

primo

q di B tale che q r1 A

= p

^e

quindi

per il teorema 6 segue q ⁼

pB.

b)

^{Poniamo B = aB con a} ideale di A. Da aB c

aiB

segue

a c ai ^e

quindi aB

^c

(n

¹

^ai

^B.

COROLLARIO 3. A un anello di xt ideale di A con

Spec (A/in)

connesso e sia B ⁼

h(A, m).

Allora tac

f unzione

^continua

indotta

dall’omomorfismo

^{A ~ B è un}

omeomor f ismo fra Spec

^{B e il}

sottospazio

^di

Spec

^A costituito dai

primi

^{di A che non} incontrano 1 -~- ^m.

Net ^caso che sia 1xt c Rad A allora si tratta di ^un

omeomor f ismo fra Spec

^{B e}

Spec

^A.

DIM. La dimostrazione è immediata per il corollario

2a) .

COROLLARIO 4. ~Sia A ^un anello di m un ideale di A ^con

connesso e sia B =

h(A, m).

^Allora

l’omomor f ismo fra

ⁱ

gruppi

indotto

dall’omomorlismo

^{A -7 B è} suriettivo e, ^{se m c} Rad

A,

^{è cn iso-}

mor f ismo.

DIM. Per la definizione di Pic A rimandiamo a

[2]

cap. ^II

par. 5

n. 4. Ricordiamo che essendo A e B domini il gruppo di Picard è iso- morfo al gruppo delle classi di ideali frazionari invertibili. Osserviamo

poi che,

per ^{m c} Rad

A,

la biiezione fra

gli

ideali di A e

quelli

^{di B}

data nel corollario

2a)

^si

estende,

^{in modo}

ovvio,

^{ad una} biiezione fra

gli

ideali frazionari di A e

quelli

^{di B e}

quest’ultima

^{induce una biie-}

zione fra

gli

ideali frazionari invertibili di A e

quelli

^{di B.}

Richiamiamo adesso la definizione di anello di Bézout.

DEFINIZIONE 5. TIn dominio A si dice ^un anello di Bézout se

ogni

ideale

finitamente generato

^{di A è}

principale.

COROLLARIO 5. A ^un anello ^e B

= h(A, m)

^{con m} ideale di A.

Si ha:

a)

^{Se B è un} anello di Bézout

(risp. PID)

^{ed è m c Rad A allora A}

è di Bézout

(risp. PID ) .

b)

^{Se A è un anello di Bézout}

(risp. PID)

^{ed è}

Spec(A~m)

^connesso

allora B è di Bézout

[risp. PID ) .

La tesi segue dal corollario ⁴ ricordando che un anello A è di Bézout se e solo se esso è un anello di Prùfer e Pic A ⁼ 0: infatti

un anello di Prùfer è un dominio carattrizzato dal fatto che

ogni

^ideale

finitamente

generato

^non nullo è invertibile

(vedi ^[7]

^teor.

^6.6)

^{e la}

condizione Pic A = 0 per ^un dominio è

equivalente

^{al fatto che}

ogni

ideale invertibile è

principale.

^Inoltre ricordiamo che un dominio A è

un PID

(dominio

^{a ideali}

principali)

^{se e solo se A è un anello di Bézout}

noetheriano.

OSSEVAZIONE 3. Osserviamo che ^non è vero che se A - B è un

omomorfismo di anelli tale che B sia una

A-algebra

fedelmente

piatta

allora se B è un anello di Bézout

(risp. PID) }

segue che A è ^un anello di Bézout

(risp. PID).

^Basta

prendere

^{come A e B} l’anello delle coordi- nate del cerchio

rispettivamente

^{su R e su C.} Si ha che B è PID mentre A è un anello di Dedekind non PID

(vedi ^[6]

^pag.

50).

COROLLARIO 6. ~Sia A un anello di

Prii f er,

^{m c Rad}

A, Spec (A/rn)

connesso e sia B ⁼

h(A, m).

Allora la biiezione

fra gli

ideali di A e

quelli

di B data nel corollario

2a)

^{induce un}

isomorfismo fra

^{i semi-}

gruppi

^{con unità}

dei divisori

rispettivamente

^{di A e di B.}

DIM. Per la definizione di

D(A)

^si

veda,

per

esempio [7]

pag. ^172.

Osserviamo adesso che dal corollario

2b)

segue che la biiezione fra

gli

ideali di A ^e

quelli

di B induce una biiezione fra

gli

ideali diviso- riali di A e

quelli

di B. Si prova

poi

facilmente che tale biiezione conserva

il

prodotto

fra ideali divisoriali cioè è un isomorfismo fra

D(A)

^e

D(B).

4. In

questo

^numero mettiamo in relazione

gli

anelli di valutazione henseliani con

quelli completi (per

^il

completamento

^{di un anello di}

valutazione si veda

[3]

cap. VI par. 5 ^n. 3 oppure

[11]

cap.

D).

È

noto che se un anello di valutazione di rango ¹ è

completo

^allora

esso è henseliano

(vedi [11]

^{pag. 198 teor.}

4).

Proviamo anzitutto che il

completamento Â

^{di un} anello di valu- tazione A henseliano è ancora un anello di valutazione henseliano.

Questa proprietà,

^{nel caso che la}

topologia

^{canonica su A abbia una}

base numerabile

degli

intorni dello zero, segue da

[12]

prop. ^7:

infatti,

secondo la nozione di terna henseliana introdotta da

Valabrega, -1

^ri-

sulta 1’henselizzazione della terna

(A,

m,

~)

^{con m} massimale di A e z

topologia

canonica di A.

PROPOSIZIONE 3. ~Se A è un anello di valutazione henseliano allora

d

è pure henseliano.

Drnr. Sia K il corpo delle frazioni di A e v una valutazione di K di anello A e sia m il massimale di

.~. ;

^sia

poi K

il corpo delle frazioni

di À (che

^{è il}

completamento

^{di g} per la

topologia

indotta da

v)

^e

v

l’estensione canonica di v a

il.

Sia .g* la chiusura

algebrica

^di

K

e

sia v* un’estensione

di v

a

g*;

^siano

poi

^{A* e m*}

rispettivamente

^l’anello

e l’ideale di v*. Osserviamo che se 1~ è il gruppo dei valori di v

(e quindi

di

v),

il gruppo dei valori h* di v* è il gruppo divisibile

generato

^{da h}

(vedi ^[11]

^{pag. 155 prop.}

1)

^e

quindi

^{è un} gruppo ordinato cofinale

a T

(cioè

per

ogni

^{a E T*}

esiste p

^{E 1~ con}

fl

&#x3E;

oc) .

Sia

poi 0

l’estensione naturale a

K(X)

definita da

Sia ora

f (X )

^un

N-polinomio

^di

(.1, ~ ).

Si vede subito che esiste

una

famiglia (e

e &#x3E;

0 )

^di

N-polinomi

^di

(A, m)

^{tali che}

nella

topologia

^di

Í~ (X )

indotta da

v.

Sia

xi Ionica

^{radice di}

f (X )

che sta in m* e l’unica radice di che sta in m. Proviamo che è nella

topologia

^{di K* in-}

dotta da v* da cui segue al

E 1t .

Poniamo

si ha ⁼ in

quanto

al ^- è invertibile _{in A* per}

z=2,...,n. .

Ma è anche

Allora si ha

che,

^{fissato ó E} &#x3E; 0

esiste y E F,

y &#x3E; 0 tale che se

~(/(Jr)2013/~))&#x3E;~

^{si ha}

v* (al - «i’ ) &#x3E; ~,

^{da cui la tesi.}

Portiamo adesso due

controesempi riguardo

alla henselizzazione di anelli di valutazione

completi.

^Nel

primo

mostriamo che se A è ^un anello di valutazione

completo,

^{y hA non} è necessariamente

completo (escluso

^{il caso in} cui A sia di rango ¹ nel

qual

^{caso si ha}

A=hA).

^{Nel se-}

condo mostriamo che hA

può

^essere

completo

^{senza che A sia}

completo.

Ci servirà la

seguente proposizione.

PROPOSIZIO E 4. Sia

(g, v)

^un corpo valutato henseliano ^{con v} di rango

1;

^{sia L una} estensione

algebrica separabile

^{di K di}

grado infinito;

allora L non è

completo

per il

prolungamento

^{di v ad L.}

DiM.

Seguiamo

^il

suggerimento

^di

[3]

cap. VI par. ⁸ esercizio 16.

Indichiamo ancora con v il

prolungamento

di v ad .L

(unico ^perchè

(K, v)

^è

henseliano).

^{Prendiamo xl =}

1; supposto

^{di aver}

scelto xi

^sce-

gliamo

xi+, ^{in L} soddisfacente alle

seguenti

condizioni:

con

dove

xsi’,

^{... , sono i}

coniugati di Xi rispetto

a K distinti da x; . Pro- viamo che tale xi+1 esiste: sia

posto .K(z)

⁼

K(y, xi)

^è

K(z) D D K(Xi)

ed inoltre

[K(z): K]

&#x3E;

prendiamo

^{allora z in modo}

che sia

K(z) D K(xi)

^e

[g(z) :.g]

&#x3E;

:g].

Possiamo inoltre supporre

v(z)

&#x3E;

a(i) :

basta fissare a E K con

&#x3E; 0 e

prendere n opportunamente grande

in modo che sia

v (zan )

^&#x3E;

&#x3E;a(i).

^{Poniamo si ha infatti}

se

E .K[X]

^{fosse un}

polinomio

^{monico di}

grado n c [K(xi) :..K]

^tale

che

f (xi+1)

^{= 0 allora}

f (xi

+

T )

^{sarebbe un}

polinomio

^{monico di}

grado n

in

g(xi) [T]

^{tale che}

f (xi

⁺

z)

^{= 0 e ciò è contro} il fatto che sia

[.g(z) : K(xi)]

&#x3E;

[K(s,) :K].

^{Proviamo ora che la} successione _{Xl, X2,} ^... è di

Cauchy : bisogna

provare che per

ogni

^{intero m} &#x3E; 0 esiste un intero n &#x3E; 0 tale che per t &#x3E; s ~ n sia è infatti

e

quindi

^basta

prendere n

^{= m.}

Proviamo adesso che la successione _{x,, x2,} ^{... non}

ha limite;

^se

fosse considerato

v(xi+.., - ^Xi)

esisterebbe un

indice j &#x3E; i

tale che

v(x - xj)

&#x3E;

v(xi+,

^--

^{xi) ;}

si avrebbe allora

e

quindi

^sarebbe

per il lemma di Krasner

(vedi [11]

pag.

190)

^{si avrebbe allora}

^.K(xi)

^c

c .K(x)

^{e ciò} per i =

1, 2, ...

^{e ciò contro} la condizione

a).

ESEMPIO 1.

Esempio di

^un anello di ValùtaZi07le A

completo

^tale

che hA non sia

completo.

Sia 1~ un corpo ^e

poniamo g = R( Y) ( (X) )

^{e sia v una valuta-}

zione di K il cui anello è A ⁼

R[ Y](y)

⁺

^XR(Y) [X] ;

^{v è una valuta-}

zione il cui gruppo dei valori è Z

Q

^Z e,

detto p

^il

primo

di altezza 1 di

A,

^è

R[Yly)

^{e =}

^R(Y) ~X~ .

Ne segue che

(g, v)

^{è com-}

pleto (perchè Ap

^{è un DVR}

^completo)

^{ma non} henseliano

(perchè Ajp

non è

henseliano).

Consideriamo

hV);

si vede facilmente che hK è di

grado

^{infinito su}

.g; applicando

^{allora la}

proposizione

^{4 al corpo K}

munito della valutazione il cui anello è

A~ ^(rispetto

alla valutazione

vp

il corpo ^K è

henseliano)

otteniamo che hK non è

completo rispetto

^al

prolungamento

^di

v~ (che

^{ha come anello}

hA:p ^h~)

^e

^quindi

^{hA non è}

completo.

ESEMPIO 2.

Esempio

^{di un} anello di valutazione discreta A non com-

pleto

tale che hA è

completo.

Sia R un corpo di caratteristica zero e

poniamo

^K

=1~(X )

^{e L =}

- .R( (X) )

muniti entrambi della valutazione

X-adica,

denotata con v, di anello

rispettivamente

^{e Si ha che}

(.g, v)

^{non è hense-}

liano

perchè l’equazione

^T2

+

^T

-~-- X

^{= 0 non} ha radici in

K,

^mentre

(L, v)

^è

completo ;

^siano C~ ^e c2

[X]

le radici della

precedente

equa- zione con cl

--~- c2 = -1.

^{Sia g un} corpo massimale fra

quelli

^{che soddi-}

sfano alle condizioni: K c H c L e tale corpo esiste per il lemma di Zorn. Indichiamo ancora con v la restrizione di v da L ad H

e sia A l’anello di v in H. Proviamo che è hA

= .R ~X~ ;

per provare ciò basta provare che L è

algebrico

^{su .g}

(vedi ^[11]

^{cor. 2 pag.}

190) ;

sia x E

L, r w H;

per la massimalità di H si ha cl E

H(x)

^da

cui,

^{essendo ci}

algebrico

^su

.g,

segue ^{che x} è

algebrico

^{su H.}

BIBLIOGRAFIA

[1]

M. F. ATIYAH - I. G. MACDONALD, Introduction to Commutative

Algebra, Addinson-Wesley, Reading,

^{Mass., 1969.}

[2] ^N. BOURBAKI,

Algébre

commutative,

Capitoli

I, II, Hermann, Paris, ^1961.

[3] ^N. BOURBAKI,

Algébre

commutative,

Capitoli

V,

VI,

Hermann, Paris,

1964.

[4] ^S. GRECO,

Qualche

condizione di henselianità per anelli ^non locali, ^Le Matematiche, ²² (1967), ^340-359.

[5] ^S. GRECO, Henselization

of

^a

ring

^with respect ^{to an} ideal, Transaction A.M.S., ¹⁴⁴

(1969),

^43-65.

[6] S. GRECO - P. SALMON,

Topics

^{on m-adic}

topologies, Springer-Verlag,

Berlino, ^1971.

[7] ^{M. D. LARSEN - P. J.} McCARTHY,

Multiplicative theory of

ideals, ^Academic Press, ^New York, ^1971.

[8] ^F. MORA, Permanenza di

proprietà

^nella henselizzazione

degli

^{anelli non} noetheriani, Rend. Sem. Mat. Univ. Padova

(in

^{corso di} stampa).

[9] ^M. NAGATA, ^{On the}

theory of

^henselian

rings, Nagoya

^{Math. J., 5}

(1953),

45-57.

[10]

^{M. NAGATA, Local}

rings,

Interscience Publ., New York, ^1962.

[11] ^P. RIBEMBOIM, Théorie des valuations, Les Presses de l’Université de Montréal, ^1964.

[12]

^P. VALABREGA,

Proprietà

dell’henselizzazione di anelli

topologici

^{e di} valutazione,

Symposia

Mathematica, ⁸

(1972),

^393-403.

Manoscritto

pervenuto

in redazione il 31

gennaio

^{1974 e in forma revi-}

sionata il 28 febbraio 1974.