Examen Final PS40 Partie Electronique

(1)

NOM :

Correction

Examen Final PS40

Partie Electronique

Note :

Durée : 50mn. Calculatrice non autorisée car inutile. Aucun document personnel n'est autorisé. Téléphone portable interdit.

Pour chaque réponse, on expliquera la démarche qui conduit au résultat proposé. Les expressions mathématiques seront exprimées littéralement avant d'être éventuellement calculées de façon numérique.

Questions de cours

1) Si ^f

( )

^t a pour transformée de Laplace F p , donnez en

( )

fonction de F p les limites suivantes :

( )

(

( )

)

t 0 p

lim

lim f t pF p

+ → +∞

→ =

( )

(

( )

)

t p 0

lim

lim f t pF p

→ +

→ +∞ =

( )

t 0 p

lim p pF p f 0 lim df

+ dt

+

→ = →+∞  − 

 

EXERCICE 1

Considérons le filtre qui a pour réponse à un échelon (Ve) d’amplitude 1V, la courbe (Vs) suivante :

Time

0s 5ms 10ms 15ms 20ms

V(E) V(S) -4.0V

-2.0V 0V 2.0V

Vs Ve

1) Comment le filtre se comporte-t-il pour les fréquences infiniment hautes ? (justifiez votre réponse)

L’échelon fait un saut de 0 à 1V. Cette variation infiniment rapide nous renseigne sur le comportement du

4

/21

1,5 0,5

0,5

1

2

(2)

2) Comment le filtre se comporte-t-il pour les fréquences infiniment basses ? (justifiez votre réponse)

Quant t tend vers +∞, l’échelon est assimilable à un signal de fréquence nulle. On remarque que le filtre transmet le continu avec un coefficient -3.

3) Quel type de filtre peut donner une telle réponse ?

C’est un coupe-bande dont l’amplification dans la bande passante vaut -3. (Pour info, j’ai, en réalité, utilisé un réjecteur)

EXERCICE 2

Sonde réductrice compensée.

On considère un oscilloscope dont l'entrée est équivalente à une résistance R₂ (de 1MΩ) en parallèle avec un condensateur C₂ (de 20pF).

On place en série avec l'entrée de l'oscilloscope une sonde non compensée équivalente à la résistance R₁ afin de réduire la tension appliquée à l’entrée de l’oscilloscope.

1) Déterminez

( ) ( )

T p S p

( )

1 = E p .

( )

²

1

1 2 1 2 2

2

1 2

E p

R

S p R E p

1 1 C p R R R R C p

R R

= =

+ +

( ) ( )

( )

²

1

1 2

2

1 2

S p R 1

T p

E p R R 1 R R C p

R R

= = ⋅

+ +

+

Montrez que ^{T p}1

( )

peut s'écrire sous la forme ^{T p}

( )

^K

1 p

= 1

+ τ . Exprimez K et τ en fonction de R₁, R₂ et C₂.

9 1,5

1

R₁

C₂ R₂

( )

e t ^SondeR ^{s t}

( )

Oscilloscope

1,5

(3)

Déterminez la valeur (littérale puis numérique) à donner à R₁ pour obtenir K = 1

10 (sonde atténuatrice d'un facteur 10).

2

1 2

R 1

K

R R 10

= =

+ d’où 10R₂ = R₁ + R₂ donc R₁ = 9R₂ = 9MΩ

2) Si le signal d'entrée est un échelon de tension d'amplitude E, déterminez alors l'expression de S(p) puis

( )

s t et tracez son allure. On considérera que

( )

T p K

1 p

= 1

+ τ .

( ) ( ) ( )

1

E K

S p E p T p

p 1 p

= = ⋅

+ τ

( )

^t

s t KE 1 e⁻^τ

=  − 

 

Faire apparaître E, KE et τ.

Pour le dessin on considérera que 1 K

= 3

1 0,5

1

t s(t)

e(t)

E

0

KE

τ 0

(4)

On compense la sonde en ajoutant un condensateur ajustable C₁ en parallèle sur R₁. (On choisit R₁ = 9MΩ pour les valeurs numériques).

3) Déterminez

( ) ( )

T p S p

( )

2 = E p .

( ) ( )

( ) ^{( )}

( )

1

2 1 1

1

1 2 1 2 1 2

1 2

E p 1 C p

R 1 R C p

S p R E p

1 1 C C p R R R R C C p

R R

 

 +  +

 

= =

+ + +

( ) ( )

( )

1 1 2

2

1 2

1 R C p

S p R

T p

E p R R 1 R R C C p

R R

= = ⋅ +

+ + +

+

Montrez que ^{T p}²

( )

^peut ^s'écrire ^sous ^la ^forme

( )

T p K p

2 p

1 2

1

= 1 + +

τ τ .

Exprimez K, τ1 et τ2 en fonction de R₁, R₂, C₁ et C₂.

2

1 2

K R

R R

= + , τ =₁ R C₁ ₁ et ² ¹ ²

(

¹ ²

)

1 2

R R C C

R R

τ = +

+

En déduire la valeur C₁₀ (littérale puis numérique) de C₁ qui rend l'atténuateur parfaitement compensé (atténuation indépendante de la fréquence (donc de "p")).

Pour que l’atténuateur soit parfaitement compensé, il faut que sa fonction de transfert ne dépende plus de « p ». Il faut donc que τ = τ₁ ₂

R1 ₁₀ R¹

C = ^R²

(

^C¹⁰ ^C²

)

R R +

+ d’où ₁₀ R² R² ₂

C 1 C

R R R R

 

− =

 

+ +

 

R₁

C₂ R₂

( )

e t ^{s t}

( )

C₁

1

1 2

(5)

EXERCICE 3

Afin d'étudier les vibrations d'une machine, on utilise un accéléromètre dont les diagrammes de Bode sont fournis en annexe. Ces diagrammes représentent la fonction de transfert suivante:

( )

réelle on

Accélérati

mesurée on

Accélérati j

H ω =

1) L'accéléromètre utilisé permet-il de mesurer l'accélération constante de la pesanteur? (justifiez votre réponse)

Sur les diagrammes de Bode, on remarque que l'accéléromètre coupe les basses fréquences. Il ne transmet donc pas les composantes continues. L'accélération constante de la pesanteur ne sera donc pas mesurée par ce capteur.

2) Lors d'un essai en vibration sinusoïdale à différentes fréquences, l'accéléromètre a mesuré les accélérations efficaces fournies dans le tableau ci dessous. Déterminez, pour chaque fréquence quelle était l'accélération efficace réelle appliquée au capteur? Expliquez le calcul pour une des valeurs.

Fréquence Accélération mesurée Accélération réelle

1Hz 0,1 m/s² 1ms^-2

1kHz 10 m/s² 10ms^-2

10kHz 8 m/s² 0,8ms^-2

100kHz 0,02 m/s² 2ms^-2

Par simple lecture du diagramme en amplitude on remarque:

• A 1Hz, le gain de -20dB correspond à une amplification de

20dB

10 20 0,1

− = . Le capteur atténue donc d'un facteur 10 à

cette fréquence. L'accélération réelle est

2

0,1ms 2

1ms 0,1

− = −

• A 1kHz, le gain de 0dB correspond à une amplification de

0dB

1020 = 1. L'accélération réelle est

2

10ms 2

10ms 1

− = −

• A 10kHz, le gain de 20dB correspond à une amplification de

20dB

10 20 = 10. Le capteur amplifie donc d'un facteur 10 à cette fréquence. L'accélération réelle est

2

8ms 2

0,8ms 10

− = −

6

1

3

(6)

d'un facteur 100 à cette fréquence. L'accélération réelle est

2

0,02ms 2

2ms 0,01

− = −

3) Si on applique un échelon d'accélération (d'amplitude A) à ce capteur, prédire (en justifiant votre réponse) les limites quand le temps tend vers zéro puis vers + l'infini de l'accélération mesurée.

Sur les diagrammes de Bode on remarque que:

• le capteur coupe les fréquences infinies. Il ne transmettra donc pas le front raide de l'échelon.

mesurée t 0

lim Accélération 0

→ + = .

• Le capteur coupe les fréquences nulles. Il ne transmettra donc pas la valeur continue de l'échelon quand t → +∞. _mesurée

t

lim Accélération 0

→ +∞ =

2

(7)

1.0Hz 3.0Hz 10Hz 30Hz 100Hz 300Hz 1.0KHz 3.0KHz 10KHz 30KHz 100KHz -40

-30 -20 -10 0 10 20 30

H log dB 20

(8)

-150d -100d -50d -0d 50d 100d

( )

Arg H Degré