PS40 1 Médian Aut 2010
NOM :
Correction
Examen Médian PS40
Partie Electronique
Note :
Durée : 50mn. Calculatrice non autorisée car inutile. Aucun document personnel n'est autorisé. Téléphone portable interdit
Pour chaque réponse, on expliquera la démarche qui conduit au résultat proposé. Les expressions mathématiques seront exprimées littéralement avant d'être éventuellement calculées de façon numérique.
EXERCICE 1
Considérons le dipôle AB suivant:
1) Déterminer ZAB l’impédance complexe du dipôle AB
AB
1 1
Z R jL R j L
jC C
= + ω + = + ω −
ω ω
2) Déterminer la fréquence f 0 pour laquelle l’impédance complexe ZAB est réelle pure. Donner alors l’expression de
ZAB à cette fréquence.
Il suffit qu’à la pulsation ω = π0 2 f0 on ait :
0
0
L 1 0
ω − C =
ω d’où LCω =02 1 et enfin 0 1 ω = LC D’où 0 1
f
2 LC
= π et pour cette fréquence, ZAB = R
EXERCICE 2
Considérons le dipôle AB suivant:
1) Déterminer ZAB l’impédance complexe du dipôle AB
AB
AB
1 1 1 1 1
Y jC j C
Z R jL R L
= = + ω + = + ω −
ω ω
Ou encore
( )
AB 2
Z jLR
R 1 LC jL
= ω
− ω + ω
/20
2,5 2,5
1,5
1
A R
L B C
A
R
B L C 1
PS40 2 Médian Aut 2010
2) Déterminer la fréquence f 0 pour laquelle l’impédance complexe ZAB est réelle pure. Donner alors l’expression de
ZAB à cette fréquence.
Il suffit qu’à la pulsation ω = π0 2 f0 on ait :
0
0
C 1 0
ω − L =
ω d’où LCω =02 1 et enfin 0 1 ω = LC D’où 0 1
f
2 LC
= π et pour cette fréquence, ZAB = R
EXERCICE 3
Considérons le montage suivant:
On se place en régime sinusoïdal établi.
1) Déterminer l’expression complexe de V en fonction de s V , R, e A et C.
s e
s
V V jC
V A A R
jC 1
R
= ε = − ω +
ω +
d’où s e s
V jRC V
V A
jRC 1
= − ω +
ω + puis
( ) ( )
s e s
V 1 + jRCω = −A V jRCω + V et enfin
s e
V AjRC V
1 A jRC
− ω
= + + ω
En déduire s
A
lim V
→ +∞
s e e
A A
lim V lim AjRC V jRC V
1 A jRC
→+∞ → +∞
− ω
= + + ω = − ω
4
6
R
ve(t) ε Aε vs(t) C
1,5
2
PS40 3 Médian Aut 2010
EXERCICE 4
Considérons le montage suivant:
1) Déterminer les dipôles équivalent AB de Thévenin et de Norton en fonction de I0, R et α. On respectera les orientations et les notations suivantes :
Le cours nous dit que Th N
Th Th N
R R
E R .I
=
= . Il suffit donc de trouver 2 des 3 inconnues pour connaitre la troisième.
•••• ETh est la tension à vide du dipôle c'est-à-dire VAB quand i=0.
Si i=0, αi=0 donc ETh est alors la tension aux bornes de la résistance du bas qui est parcourue par le courant I0. D’où
Th 0
E = RI .
•••• IN est le courant de court circuit du dipôle AB.
(
0 N)
N NU = R I − I = RI + αI d’où on déduit
(
0)
N
I RI
= 2R
+ α .
•••• Pour obtenir RTh, on éteint les sources indépendantes et on « mesure » la résistance entre les bornes A et B.
Th
R U
= I or i=-I d’où l’équation de la maille U − α −I 2RI = 0 d’où on déduit RTh = 2R + α.
3
3
RN
IN
A
B
RTh
ETh
A
B
R
R R
I0
i=0 αi=0
A
B ETh
R
R R
I0
i=IN
αIN
A
B IN
U
R
R R i αi
A
B I
U R
R R
I
i αi
A
B
PS40 4 Médian Aut 2010
EXERCICE 5
Considérons le signal e(t) suivant :
1) En utilisant les propriétés de la Transformée de Laplace (sans passer par le calcul direct), déterminer E(p) la transformée de e(t).
On décompose e(t) en une somme de 2 fonctions :
( )
1
Transformée d'un échelon E p A
d'amplitude A.
p
⇒ =
D’où ( ) 2 -t p0 0
A A
E p e
p t p
= −
2) En utilisant les théorèmes sur la transformation de Laplace, retrouver les trois limites suivantes :
( ) ( )
0 p p
t
A p li
lim e t m pE p lim
+ → +
→ = ∞ = → +∞
p
− A p2 t p0
-t p0
e A
=
(ce qui était prévisible. Il suffit de regarder e(t).)
( ) ( )
p 0 p
t 0
li A p
lim e t m pE p lim
+ +
+ →
→ ∞ = = →
p
− A p2
t p0 e-t p0 sgn A .( )
= − + ∞ = +∞
(résultat vérifiable sur la courbe de e(t))
( )
(
( )( ) )
0 p p
t
lim A p
lim de t p pE
dt p e 0 lim
+
+
→ = → +∞ − = → +∞
p
− A p2 t p0
-t p0
e A 0
− =
(résultat vérifiable sur la courbe de e(t))
6
t e(t)
A t0
0
2t0 3
3
( )
-t p02 2
0 0
0
Transformée d'une rampe
A A
E p e causale de pente -
t p t
décalée de t
⇒ = −
A e1(t)
t 0
-A e2(t)
t t0
0
2t0
