G249. Au moins une sur six
Soient neuf points du plan dont les distances entre deux quelconques d’entre eux sont mesurées par des nombres entiers. Démontrer que six d’entre elles au moins sont divisibles par 3.
Généralisation avec points du plan : au moins un sixième des distances toutes entières entre deux points quelconques sont divisibles par 3.
Solution
Proposée par Fabien Gigante
On note la partie entière par défaut de , et la partie entière par excès de . Il s’agit de démontrer que la propriété suivante est vraie pour tout :
Si toutes les distances définies par points sont entières, alors au moins sont multiples de 3.
Démontrons tout d’abord que la propriété est vraie au rang .
Prenons 4 points du plan, et employons les notations de la figure ci-contre.
On établit donc la relation suivante entre les 6 distances entières définies par ces 4 points :
Supposons par l’absurde qu’aucune de ces distances ne soit divisible par 3.
C'est-à-dire que La relation précédente implique alors que :
Soit , ce qui est une contradiction. Une distance au moins est donc multiple de 3.
La propriété est vraie au rang
Procédons par récurrence et supposons la propriété vraie au rang .
Considérons points du plan. On note le nombre de segments formés dont la distance est multiple de 3.
D’après le principe des tiroirs, il existe au moins de ces segments qui partagent un même point.
Supprimons ce point. Il reste alors points et au plus segments dont la distance est multiple de 3.
D’après l’hypothèse de récurrence ce nombre est au moins égal à .
La propriété est donc vraie au rang . Par récurrence, elle est donc vraie pour tout .
Ce qu’il fallait démontrer.
