Existence et unicité à isomorphisme près du corps de rupture, et degré
Pierre Lissy April 29, 2010
Lemme 1. On a existence du corps de rupture.
Proof. L'anneauK[X]est principal et le polynômeP est irréductible. Donc l'idéal(P)est premier dansK[X], donc maximal carK[X]est principal et par propriétéK[X]/(P)est un corps. De plus, K s'injecte dans L =K[X]/(P) car P étant irréductible, il est notamment non inversible donc de degré supérieur ou égal à 1. On peut donc considérer x ∈ K 7→ x+ (P) qui est injective.
De plus, dans L, on a, en posant x= X+ (P), si P(X) = PaiXi, alors dans L on a P(x) = Paixi =Pai(X+ (P))i =PaiXi+ (P) = (P)qui est l'élément nul dansL. DoncP(x) = 0 et Lest bien un corps de rupture deK. Enn, par division euclidienne, ce nouveau corps est de deré n=Deg(P). En eet, si Q∈K[X], alorsQ=BP +R avecdeg(R)< deg(Q). Donc dans L le polynôme réduitQest égal à R. Ceci montre que (1, x, . . . , xn−1) est une famille génératrice du K-espace vectorielL. cette famille est libre car si P
aixi = 0dansL, Alors le polynôme P aiXi dans K[x] est de degré strictement inférieur à deg(P) mais est tel que P le divise. Donc il est forcément nul, ieai= 0pour touti. Ona donc bien ce qu'on voulait.
Pour l'unicité, considérons plusieurs lemmes.
Lemme 2. Tout isomorphismei entre deux corpsK etK0 se prolonge de manière unique en un isomorphisme deK[X] sur K0[X] envoyant le monôme X sur le mônome X. Ce nouvel isomor- phisme sera noté¯i.
Proof. C'est évident. On pose¯i:PaiXi7→Pi(ai)Xi. C'est clairement un morphisme d'anneaux (cari en est un), il envoie X sur X, il est surjectif car siP(bi)Xi ∈K0[X] alors un antécédent possible estPi−1(bi)Xi, et injectif carPi−1(ai)Xi= 0implique que pour tout i,i(ai) = 0 eti étant injectif on aai= 0pour touti.
Lemme 3. Soit L et L0 deux corps de rupture de deux polynômes P et P0 = ¯i(P) sur K etK0 (qui sont isomorphes pari) engendrés par une racine xetx0. Il existe un unique morphisme deL surL0 prolongeanti et vériantϕ(x) =x0.
Proof. On a un morphismeU :K[X]7→Lqui à un polynômeP associeP(x). Il est surjectif par dénition du corps de rupture qui est une extension monogèneK[x]. Son noyau est l'ensemble des éléments tel queQ(x) = 0. mais P étant irréductible, c'est le polynôme minimal de P et donc Ker(U) = P K[X]. On a donc par passage au quotient un isomorphisme u : K[X]/(P) → L. On a de même un isomorphismeu0 :K0[X]/(P0)→L0. L'isomorphisme¯iconstruit à la question précédente induit alors par passage au quotient un isomorphisme entreK[X]/(P)etK0[X]/(P0), notéj. En eet, on a un morphisme surjectif de K[X] versK0[X]/(P0) par composition avec la projection canonique, et son noyau est l'ensemble des polynômesQ=PaiXi tel queP0 =i(P) diviseP
i(ai)Xi = ¯i(Q). On a donc¯i(P)R= ¯i(Q)etP¯i−1(R) =Q. Donc le noyau estP K[x], d'où l'isomorphisme. Finalement, l'isomorphismeu0ju−1 convient alors: u0ju−1(x) =u0j(ClK(X)) = u0(ClK0 (X)) =x0.
On conclut en prenantK=K0.
1
![Si K = R ou C , pour un polynôme P(X) ∈ K[X] on notera P la fonction polynôme associée à P (X). On note P 0 (X) le polynôme dérivé de P(X).](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)