CORRECTION DU BREVET BLANC 5 MAI 2010

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CORRECTION DU BREVET BLANC

5 MAI 2010

La feuille annexe sera rendue avec la copie

Nombre de pages : 6 Durée : 2h00

Activités Numériques Exercice 1 :

1. A = 7 15 – 4

15 × 5 8 = 7

15 − 4×5 4×2×15 = 7

15 − 5 30 = 14

30 − 5 30 = 9

30 2. B=3  ² ^–  ⁹⁸⁼ ³  ²⁻  ^49× ²⁼³  ²⁻⁷  ²⁼⁻⁴  ²

a. La valeur arrondie au centième de B est –5,66.

b. La valeur exacte de B est – 4  ^{2 .}

Exercice 2 :

On considère l'expression : E=9x²–253x –52x15

1- Développer et réduire l'expression E.

2- a) Factoriser 9x²–25 .

b) En utilisant la question a), factoriser l'expression E.

3- Résoudre l'équation 3x –5 5x20=0 .

1- E =9 x

²

– 253 x – 5 2 x15=9 x

²

– 256 x

²

45 x – 10 x – 75=15 x

²

35 x – 100 2- a) 9 x

²

– 25= 3 x ² −5²=3 x−5 3 x5 .

b) E =9 x

²

– 253 x – 5 2 x15

E =3 x−5 3 x53 x −5 2 x15 =3 x−5 3 x52 x15

E =3 x−5 5 x20

3- 3 x – 55 x 20= 0 .

Si un produit est nul, alors l'un au moins des facteurs est nul.

3 x – 5= 0 ou 5 x 20=0 x= 5

3 ou x =– 4 .

Les solutions de l'équation sont 5

3 et – 4 . Exercice 3 :

1. Le PGCD de 238 et 170 est 34.

2. 170

238 = 170÷34 238÷34 = 5

7 .

L' exercice 4 doit être choisi entre les exercices 4A et 4B. Un seul de ces deux exercices devra être traité.

(2)

Exercice A :

Un sac contient six boules : quatre blanches et deux noires. Ces boules sont numérotées : Les boules blanches portent les numéros 1 ; 1 ; 2 et 3 et les noires portent les numéros 1 et 2.

1- La probabilité de tirer une boule blanche est 4

6 , soit 2 3 . 2- La probabilité de tirer une boule portant le numéro 2 est 2

6 , soir 1 3 . 3- La probabilité de tirer une boule blanche numérotée 1 est 2

6 , soit 1 3 . Exercice B :

Voici les notes obtenues par 13 élèves à un devoir de Mathématiques : 6 ; 8; 8; 9; 9; 10; 11; 12; 14; 17; 18; 18; 19.

1- L'étendue de cette série est 13.

2- La moyenne arrondie au centième de cette série de notes est 12,23.

3- La médiane de cette série de notes est 11.

ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES (12 points)

Exercice 1 :

On considère une bougie conique représentée ci-contre.

(la figure n’est pas aux dimensions réelles.) Le rayon OA de sa base est 2,5 cm.

La longueur du segment [SA] est 6,5 cm.

1. Sans justifier, donner la nature du triangle SAO et le construire en vraie grandeur.

Le triangle SAO est rectangle en O.

2. Montrer que la hauteur SO de la bougie est 6 cm.

J'applique le théorème de Pythagore : SA

²

=SO

²

 AO

²

Donc _SO

²

_=6,5

²

_– _2,5

²

= 36 . Donc SO= 6 cm.

3. Calculer le volume de cire nécessaire à la fabrication de cette bougie ; on donnera la valeur arrondie au dixième de cm³ ?

V = ×R

²

×h

3 = ×2,5

²

×6

3 ≈ 39,3 Le volume de cire est d'environ 39,3 cm

³

.

4. Calculer l’angle ^ASO; on donnera la valeur arrondie au degré.

Tan  ASO = AO OS = 2,5

6 Donc  ASO ≈ 22,6 Exercice 2 :

On considère un triangle EFG tel que EF = 6 cm, FG = 7,5 cm et GE = 4,5 cm.

1. Construire le triangle EFG.

2. Montrer que le triangle EFG est rectangle et préciser en quel point.

[FG] est le plus grand côté. GF²=56,25 et GE²+EF²=56,25.

Donc, comme GF²=GE²+EF², alors d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle EFG est rectangle en E.

3. Construire le point M sur la demi-droite [EF) tel que EM = 7,8 cm. Tracer la droite passant par M et parallèle à (FG). Elle coupe (EG) en N. Placer le point N.

4. Calculer EN.

Les droites (FM) et (GN) se coupent en E. De plus, (FG) est parallèle à (MN).

A O

S

(3)

D'après le théorème de Thalès, on a : EF

EM = EG EN = FG

MN 6

7,8 = 4,5 EN

Donc EN = 4,5×7,8 6 =5,85

PROBLÈME (12 points)

Les longueurs sont exprimées en centimètres.

TRAP est un trapèze rectangle en A et en P tel que : TP = 3 ; PA = 5 ; AR = 4.

M est un point variable du segment [PA], et on note x la longueur du segment [PM].

1. Dans cette question, on se place dans le cas où x = 1 a. Faire une figure.

b. Démontrer que, dans ce cas, le triangle ARM est isocèle en A.

Si PM=1, alors AM =5 – 1=4 , donc ARM est isocèle et rectangle en A.

c. Calculer les aires des triangles PTM et ARM.

Aire de PTM : 3×1

2 = 1,5 cm².

Aire de ARM : 4×4

2 = 8 cm².

2. Dans cette question, on se place dans le cas où x est un nombre inconnu.

a. Donner les valeurs entre lesquelles x peut varier.

x peut varier entre 0 et 5.

b. Montrer que l’aire du triangle PTM est 1,5x et l’aire du triangle ARM est 10−2x.

Aire de PTM : PM × PT

2 = 3× x 2 =1,5 x Aire de ARM : ^MA× ^AR

2 = 5 – x×4

2 = 2×5 – x =10 – 2 x

La représentation graphique, dans le plan rapporté à un repère orthogonal, de la fonction représentant l’aire du triangle ARM en fonction de x est donnée en annexe.

Répondre aux questions suivantes, 3. et 4., en utilisant ce graphique à rendre avec la copie.

Laisser apparents les traits nécessaires.

3. a. Pour quelle valeur de x l’aire du triangle ARM est égale à 6 cm² ?

L'aire de ARM vaut 6cm² pour x= 2 cm.

b. Lorsque x est égal à 4 cm, quelle est l’aire du triangle ARM ?

Pour x=4, l'aire de ARM est 2cm².

4. On considère la fonction g représentant l’aire du triangle PTM en fonction de x. On a g : x 1,5x a. Recopier et compléter le tableau de valeurs de la fonction g :

x 0 1 2,6 3,8 5

g(x) 0 1.5 3.9 5.7 7.5

b. Ce tableau est-il un tableau de proportionnalité? Justifier.

Ce tableau est un tableau de proportionnalité car on passe de la première ligne à la deuxième ligne en multipliant par un même nombre 1,5.

T

P M A

R

4

5

3

(4)

c. Représenter les valeurs de ce tableau sur le graphique donné en annexe et tracer la droite représentant la fonction x 1,5x.

d. Estimer graphiquement, à un millimètre près, la valeur de x pour laquelle les triangles PTM et ARM ont la même aire. Faire apparaître les traits de construction nécessaires.

Les deux aires sont égales pour x valant 2,9cm (environ).

e. Montrer par le calcul que la valeur exacte de x pour laquelle les deux aires sont égales, est 100 35

CORRECTION DU BREVET BLANC 5 MAI 2010