D60331. Juste milieu
Tracer le milieu d’un segmentAB donné,
a) si l’on vous donne une règle (non graduée), un crayon, et une droite (D) parallèle àAB (rien de plus) ;
b) sans règle, mais avec un compas.
Solution
a) Prendre un pointC du côté de D où n’est pas AB;CA et CB coupent D en I et J, AJ et BI se coupent en K, CK coupe AB en M qui est le milieu cherché. En effet, le milieu deABest conjugué harmonique du point à l’infini deABetDpar rapport àA etB, etCK est la polaire de ce point à l’infini par rapport à la conique dégénérée formée parAJ etBI.
Remarque. Pierre Deguest observe que la construction indiquée à la règle seule peut se justifier simplement par le théorème de Thalès.
b) pour ce classique des problèmes mascheroniques, j’emprunte la solution au site www.diophante.fr de Philippe Fondanaiche (63), cf. son problème D606, qui comporte plusieurs questions analogues.
Les cercles (A, AB) et (B, BA) se coupent en P et Q. (P, P Q) recoupe (B, BA) enC, symétrique deApar rapport àB. (C, CA) coupe (A, AB) en DetE. (D, DA) et (E, EA) se recoupent enM, milieu de AB.
En effet,ADM Eest un losange, et forme avecCun inverseur de Peaucellier.
D’oùCA·CM =CD2−DA2 = 3AB2,CM = 3AB/2,AM =M B=AB/2.
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