Théorème de Witt (Perrin page 183-184
Pierre Lissy May 5, 2010
L'équivalence 2,3 est claire. l'implication 1 implique 2 ou 3 aussi. Il reste à voir pourquoi 3 implique 1.
Lemme 1. On peut se restreindre au cas où le sevF qu'on considère est non isotrope.
Proof. Supposons le théoèrme prouvé dans le cas non isotrope. SoitF isotrope. On utilise le lemme démontré juste avant (ou du plan) : on écrit F = F0⊥U avecF0 =KerqF. Comme σ est une isométrie, on aσ(F) =F0 =σ(F0)⊥σ(U) et σ(F0) =KerQF0. On considèreu1, . . . ur une base deF0etv1, . . . vr comme dans le lemme. On poseui0=σ(ui), etu10, . . . ur0 est une base deσ(F0) de telle sorte qu'encore une fois le lemme nous fournit des vecteursv10, . . . vr0. On posePi le plan engendré parui, vi, et parPi0ceux engendrés parui0, vi0. Ce sont des plans hyperboliques de base hyperbolique les vecteurs indiqués, deux à deux orthogonaux. On pose alorsG=P1⊥. . . Pr⊥U et G0 de même. Gdevient du coup non isotrope et on peut prolongerσenσ1 isométrie deGsurG0 en posantσ1(vi) =v0i. Du coup le théorème s'applique et on prolonge en ce qu'on veut.
On fait maintenant un raisonnement par récurrence surdim(F). Si cell-ci vaut1. F =vect(x). Posonsσ(x) = y, par dénition q(x) = q(y) 6= 0. Du coup, soit q(x+y), soitq(x−y) est non nul (si les deux sont nuls, commeq(x+y) +q(x−y) = 2(q(x) +q(y)) = 4(q(x)) = 0, on a une contradiction). Posonsx+εynon isotrope. Alors son orthogonal est un hyperplanH non isotrope.
Considérons la rééxion orthogonale par rapport à H, notéτH. Comme x−εy ∈H, puisqu'en faisant le produit avecx+εytout s'annule, on aτH(x−εy) =x−εymais on aτH(x+εy) =−x−εy d'où l'égalitéτH(x) =−εy et doncy=−ετH(x). Ainsi,−ετH est dans O(q)et prolongeσ.
SupposonsdimF >1. L'hypothèse de récurrence est qu'on a prouvé que l'isométrie s'étendait pour les sev de dimension plus petite que r. Soit F de dimension r+ 1. On peut facilement décomposerF en deux sous-espaces stricts orthogonaux non isotropes (il sut de scinder une base orthogonale deF en deux). HR nous dit queσF1 se prolonge àEtout entier enτ1isométrie. Mais quitte à remplacer σpar τ−1σ, on peut supposer que σF1 est l'identité. De plus, on aF2 ⊂F1⊥ doncσ(F2) ⊂σ(F1bot) = F1bot (car une isométrie qui stabilise un sev stabilise l'orthogonal). On peut donc appliquer HR àF2 vu comem sev deF1⊥, et on étendσF2 à une isométrie deF1⊥ notée σ2. Mais alors commeE=F1⊥F1⊥ (carqest non dégénérée par hypothèse!), on prolonge σen la posant égale àIdsurF1et àσ2.
References
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